newch5插值型數(shù)值微分與數(shù)值積分(編輯修改稿)
2025-06-16 23:04 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 11 1062 ,TSSS T f??????? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ??精 確 解 ， 可 見 與 調(diào) 用 同 樣 的 次 數(shù) 精 度 大 大 提 高 。2142kk2k SSTx14)x(fx1K??? 0 1 4 1 1 1 1 2 4 2 2 4 2 3 2 4 4 2 2 1 1 1 ? 例 2 試?yán)帽?53的函數(shù)表，分別用復(fù)合梯形公式、復(fù)合Simpson公式和復(fù)合 Cotes公式計(jì)算定積分 ? ?? 10 dxxeI x解 ? ?81k2f322190143f41f1221f14)1(f)0(f721901C81k2f44kf2)1(f)0(f4161S8kf2)1(f)0(f8121T41k231k41k471k8????????????? ?????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????? ???? ??計(jì)算量幾乎相同。公式，而這三種公式的公式又優(yōu)于復(fù)合合梯形公式，復(fù)合公式的精確程度優(yōu)于復(fù)?？梢?，復(fù)合而精確值S i m p s o nC o t e sS i m p s o neI ??2 6 4 2 4 1 1 1 ??? ?三、求積公式的誤差： ?? ??????????????????????????ba1n)1n(baba1n)1n(nba1n)1n(nnndx)x()!1n()(f]f[Rdx)x()!1n()(fdx)x(Pdx)x(f)x()!1n()(f)x(P)x(f)x(R)x(f)x(p即： 大區(qū)間上的誤差記為： ? ??????? baT dx)bx)(ax(!)(f]f[R( ) ( ) [ , ]x a x b a b?????由 于 在 上 小 于 零 ， 即 不 變 號(hào) , 故 在 f (x)連 續(xù) 的 條 件 下 ， 由 廣 義 中 值 定 理 知 ， 在 [a,b] 上 存 在 一 點(diǎn)使33( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )!2()( ) ( )61[ ] ( ) ( )12bbTaabaTffR f x a x b d x x a x b d xbax a x b d xR f b a f a b??????? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ? ????131312[][ , ] [ ]1[ ] ( )121[ ] [ ( ) ( ) ( ) ]12kknk k TT k k k kTnRfx x R fR f h f x xR f h f f f??? ? ?????? ? ? ??? ?? ??? ? ? ? ? ?Tn同 理 可 得 復(fù) 化 梯 形 公 式 誤 差 ， 記 為在 每 個(gè) 小 區(qū) 間 上 的 誤 差 用 表 示 ， 誤 差 為1213312( ) ( ) [ , ]( ) , ( ) , , ( )( ) ,( ) ( )()11[ ] ( ( ) ( ) ) ( )12 121( ) ( )12nnnTnf x m f x M x a bm f M m f M m f MabfffnR f h f f h nfb a h f a b? ? ??????? ? ????? ??? ? ? ??? ?? ??? ? ? ? ? ????? ?????? ??? ?? ??? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?在 [a,b] 上 連 續(xù) ，故再 由 介 值 定 理 ， 一 定 存 在 一 點(diǎn) 使 3( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2bbs aaf f a bR f x d x x a x x b d x?????? ??? ?? ? ? ? ???！ ！不難推出 5( 4 )4 ( 4 )()[ ] ( )2880()[ ] ( )2880nssbaR f f a bbaR f h f a b?????? ? ? ??? ? ? ? ( 6 )7 ( 6 )( 6 )6 ( 4 )8 9 ( )[ ] ( ) ( )9 4 5 4 1 9 3 5 3 6 0()[ ] ( ) ( )1935360nccbfR f f a bfR f b a h f??????? ? ? ? ? ?? ? ?2 4 6, ( ) , ( ) , ( ) .h O h O h O h如 果 用 同 一 用 三 種 方 法 自 然 誤 差 為 ：四、變步長(zhǎng)法則 上面介紹的復(fù)化求積公式對(duì)提高進(jìn)度是有效的，但是在使用求積公式之前，必須給出適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)。如果事先給出精度要求，在使用復(fù)化求積公式時(shí)，由于誤差估計(jì)式中 含有 ，而這是不知道的，因而 h無(wú)法確定，也就是說(shuō)無(wú)法進(jìn)行事前誤差估計(jì)，這就必須尋求事后估計(jì) 誤差的方法 —— 逐次分半法。 基本思想：在步長(zhǎng)逐次分半的過(guò)程中，反復(fù)利用復(fù)化求積 公式進(jìn)行計(jì)算，直到二分前后兩次積分值相當(dāng)符合為止。 *2 2 2, , .n n n n nI I I I I I?? ? ? ?區(qū) 間 折 半即 若 則( 4 ) ( 6 )( ) , ( ) , ( )f f f? ? ??? —— 逐次分半法 以梯形公式為例： 2*12*2 2 2[ , ] ( ) ( ) ( )12()2( ) ( ) ( )12nnnnha b
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