newch5插值型數(shù)值微分與數(shù)值積分-wenkub
2023-05-22 23:04:11 本頁面
【正文】 )12nnnTnf x m f x M x a bm f M m f M m f MabfffnR f h f f h nfb a h f a b? ? ??????? ? ????? ??? ? ? ??? ?? ??? ? ? ? ? ????? ?????? ??? ?? ??? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?在 [a,b] 上 連 續(xù) ，故再 由 介 值 定 理 ， 一 定 存 在 一 點 使 3( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2bbs aaf f a bR f x d x x a x x b d x?????? ??? ?? ? ? ? ???！ ！不難推出 5( 4 )4 ( 4 )()[ ] ( )2880()[ ] ( )2880nssbaR f f a bbaR f h f a b?????? ? ? ??? ? ? ? ( 6 )7 ( 6 )( 6 )6 ( 4 )8 9 ( )[ ] ( ) ( )9 4 5 4 1 9 3 5 3 6 0()[ ] ( ) ( )1935360nccbfR f f a bfR f b a h f??????? ? ? ? ? ?? ? ?2 4 6, ( ) , ( ) , ( ) .h O h O h O h如 果 用 同 一 用 三 種 方 法 自 然 誤 差 為 ：四、變步長法則 上面介紹的復(fù)化求積公式對提高進(jìn)度是有效的，但是在使用求積公式之前，必須給出適當(dāng)?shù)牟介L。 8?n 復(fù)合求積公式 求積公式的穩(wěn)定性分析： ? ?? ?計算穩(wěn)定這時），所以均同號（見表時，注意到則記誤差為的近似值為設(shè)ini1ini1n0iinnn0in0iiinin0iiin0in0iiiiinnn0iiiniiiiiem a x)ab(em a xAI~IabAA25C7neA)x(f~A)x(fAI~I.)x(f~AI~,)x(f~)x(fe,n,1,0i)x(f~)x(f?????? ??? ??????????????????????????? ??? ??? 等距節(jié)點的插值求積公式，當(dāng) n較大（ n7）時，系數(shù) 中出現(xiàn)負(fù)數(shù)，而且有正有負(fù)，這將使舍入誤差增大并難于 估計，因此實際計算時一般不用 n較大的公式，而是將積 分區(qū)間 (a,b)分成 n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上用低階 New Cotes公式計算積分的近似值，然后對這些近似值求和，從 而得到所求積分的近似值，由此得到一些有實際意義的求 積公式，稱為 復(fù)合求積公式 。 ??3 5 3 5 5 )2( ??f為估計二階導(dǎo)數(shù)數(shù)值微分公式的誤差，可設(shè) f (x) 四階連續(xù)可微，故得 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? )xx(f12h)x(fhy2ff!4h)x(fhy2yyxx,xx)(f!4h)x(f!3h)x(f2h)x(fh)x(f)hx(fyf!4h)x(f!3h)x(f2h)x(fh)x(f)hx(fy204412124144121021202112441312111014413121112????????????????????????????????????????????????????相加得這里從而得到誤差估計式 ? ? ? ? )85(f12hhyy2y)x(f 4220121 ????????? 插值型數(shù)值積分 插值型數(shù)值積分的思想是 ： 若已知 則利用拉格朗日插值多項式建立近似計算公式 ? ?? dx)x(fdx)x(L banba這里 稱為 插值型求積公式 ， 稱為 求積節(jié)點 ， nxxx , 10 ?nin0iin0iibain0iibain0iibainbaI)x(fA)x(f)dx)x(l(y)dx)x(l(dxy)x(ldx)x(L記作??????? ?? ?? ? ?????),1,0()( nidxxlA ibade fi ??? ? 稱為 求積系數(shù) ，其和 ? ? ? ?? ?????n0in0ibaibai abdxdx)x(lA且,),1,0()( 10 bxxxanixf ni ?????? ??下面求求積系數(shù) ，設(shè)等距節(jié)點情形，即 iA3x1x2nx ?1nx?nx2xax0 ?ix)n(in0inn00n0thxxbann1in1in0nn1i1i0baiiC)ab(dt)nt()1it)(1it()1t(t)!in(!i)1(nabdt)ni()1(1)1i(i)nt()1it)(1it()1t(th)thx(dh)ni()h(hh)1i(ihh)nt(h)1it(h)1it(h)1t(thdx)xx()xx)(xx()xx()xx()xx()xx()xx(dx)x(lA0?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????記為換元法?????n0ii)n(in )x(fC)ab(I —— 牛頓 柯特斯公式 ? ?????????????????????????n0n0jijinn0in)n(idt)jt(n)!in(!i)1(dt)nt()1it)(1it()1t(t)!in(!ni)1(CCotes系數(shù) 特別地 ? ? T)b(f)a(f2abI21t d t)!11(!11)1(C21dt)1t()!01(!01)1(C,1n11011)1(11001)1(0記為有時???????????????????????這稱為 梯形公式 ； 幾何意義：用梯形面積代替 f(x)作為曲邊的曲邊梯形面積。 常用的數(shù)值微分公式
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