newch5插值型數(shù)值微分與數(shù)值積分(已修改)
2025-05-27 23:04 本頁(yè)面
【正文】 第五章 插值型數(shù)值微分與數(shù)值積分 插值型數(shù)值微分公式 插值型數(shù)值積分 插值型數(shù)值微分公式 ? ? ? ?)15()x()!1n( )x(f)x(L)x(f 1n1nn ????????由? ? ? ?? ?? ? ? ?)()!1( 1)(!1 )()()( 1111xdxdfnxn xfxLxf nnnnn ???????????? ????得當(dāng) x 為插值節(jié)點(diǎn) 時(shí)，上式簡(jiǎn)化為 ix? ? ? ? ? ?)25(,1,0)()!1( )()()( 11???????? ???nixn xfxLxfixxnnini ???故一般限于對(duì)節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值采用插值多項(xiàng)式的相應(yīng)導(dǎo)數(shù)值進(jìn)行近似計(jì)算， f以便估計(jì)誤差。 一般地 ? ? ? ? ? ??? ,2,1。,1,0)()( ??? knixfxLikikn這類(lèi)公式稱(chēng)為 插值型數(shù)值微分公式 。 常用的數(shù)值微分公式 (n=1) 1ii1ii y,yx,x ?? 及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值給定兩點(diǎn)這稱(chēng)為 兩點(diǎn)公式 。 即 ix 1ix?iy 1iy?i1i xxh ?? ?步長(zhǎng)1ii1iii1ii1i1 yxxxxyxxxx)x(P??????????由)yy(h1yh1yh 1)x(P i1i1ii1 ?????? ??左端點(diǎn)公式—)yy(h1)x(P)x(f i1ii1i ?????? ?右端點(diǎn)公式—)yy(h1)x(P)x(f i1i1i11i ????? ???截?cái)? 誤差 左端點(diǎn)—)(f2h|]xxxx[!2)(f|])xx)(xx[(!2)(f)x(R1xx1i1i1xx1ii1i1ii?????????????????????????右端點(diǎn)—)(f2h|]xxxx[!2)(f|])xx)(xx[(!2)(f)x(R2xx1i1i2xx1ii21i11i1i??????????????????????????? (n=2) 1ii1i1ii1i y,y,yx,x,x ???? 及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值給定三點(diǎn)即 ix 1ix?iy 1iy?1ix?1iy?i1i1ii xxxxh ???? ??步長(zhǎng)1ii1i1i1ii1ii1ii1ii1i1i1i1i1ii1i1ii2y)xx)(xx()xx)(xx(y)xx)(xx()xx)(xx(y)xx)(xx()xx)(xx()x(P?????????????????????????????)y3y4y(h21)x(f)yy(h21)x(f)yy4y3(h21)x(f1ii1i1i1i1ii1ii1i1i??????????????????????右端點(diǎn)—中點(diǎn)—左端點(diǎn)—)(f3h)x(R)(f6h)x(R)(f3h)x(R321i322i2121i1?????????????????二階導(dǎo)數(shù)（不要記憶） )yy2y(h1)x(f)yy2y(h1)x(f)yy2y(h1)x(f1ii1i21i1ii1i2i1ii1i21i????????????????????右端點(diǎn)—中點(diǎn)—左端點(diǎn)—)(f6h)(fh)x(R)(f12h)x(R)(f6h)(fh)x(R3)4(221i32)4(4i21)4(211i1???????????????????????? 例 1：已知列表 X Y 的近似值。求 )(f),(f),(f ???解 : h= )6 1 2 4 2 7 8 1 2 4 (1)(f)6 2 7 8 9 6 8 (1)(f)6 1 2 4 9 6 8 8 1 1 (1)(f??????????????????????? 例 為計(jì)算 在 x=2 處的一階導(dǎo)數(shù)值，我們可選用中點(diǎn)公式 xxf ?)(hhhhG222)( ????當(dāng)計(jì)算保留四位小數(shù)時(shí)，得到計(jì)算結(jié)果如表 51(書(shū) 103頁(yè)）。 而精確值為 ，可見(jiàn)當(dāng) h=好，步長(zhǎng)太大或太小計(jì)算效果均不好。 ??3 5 3 5 5 )2( ??f為估計(jì)二階導(dǎo)數(shù)數(shù)值微分公式的誤差，可設(shè) f (x) 四階連續(xù)可微，故得 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? )xx(f12h)x(fhy2ff!4h)x(fhy2yyxx,xx)(f!4h)x(f!3h)x(f2h)x(fh)x(f)hx(fyf!4h)x(f!3h)x(f2h)x(fh)x(f)hx(fy204412124144121021202112441312111014413121112????????????????????????????????????????????????????相加得這里從而得到誤差估計(jì)式 ? ? ? ? )85(f12hhyy2y)x(f 4220121 ????????? 插值型數(shù)值積分 插值型數(shù)值積分的思想是 ： 若已知 則利用拉格朗日插值多項(xiàng)式建立近似計(jì)算公式 ? ?? dx)x(fdx)x(L banba這里 稱(chēng)為 插值型求積公式 ， 稱(chēng)為 求積節(jié)點(diǎn) ， nxxx , 10 ?nin0iin0iibain0iibain0iibainbaI)x(fA)x(f)dx)x(l(y)dx)x(l(dxy)x(ldx)x(L記作??????? ?? ?? ? ?????),1,0()( nidxxlA ibade fi ??? ? 稱(chēng)為 求積系數(shù) ，其和 ? ? ? ?? ?????n0in0ibaibai abdxdx)x(lA且,),1,0()( 10 bxxxanixf ni ??????
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