newch5插值型數(shù)值微分與數(shù)值積分-文庫吧
2025-04-21 23:04 本頁面
【正文】 ??下面求求積系數(shù) ，設(shè)等距節(jié)點(diǎn)情形，即 iA3x1x2nx ?1nx?nx2xax0 ?ix)n(in0inn00n0thxxbann1in1in0nn1i1i0baiiC)ab(dt)nt()1it)(1it()1t(t)!in(!i)1(nabdt)ni()1(1)1i(i)nt()1it)(1it()1t(th)thx(dh)ni()h(hh)1i(ihh)nt(h)1it(h)1it(h)1t(thdx)xx()xx)(xx()xx()xx()xx()xx()xx(dx)x(lA0?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????記為換元法?????n0ii)n(in )x(fC)ab(I —— 牛頓 柯特斯公式 ? ?????????????????????????n0n0jijinn0in)n(idt)jt(n)!in(!i)1(dt)nt()1it)(1it()1t(t)!in(!ni)1(CCotes系數(shù) 特別地 ? ? T)b(f)a(f2abI21t d t)!11(!11)1(C21dt)1t()!01(!01)1(C,1n11011)1(11001)1(0記為有時(shí)???????????????????????這稱為 梯形公式 ； 幾何意義：用梯形面積代替 f(x)作為曲邊的曲邊梯形面積。 xY )x(fy?)x(Ly 1?圖 1梯形公式 61dt)1t(t21C64dt)2t(t21C61dt)2t)(1t()!02(!02)1(C,2n20)2(220)2(12002)2(0????????????????????有時(shí)0x 1x 2xa 2/)ba( ? b)]b(f)2ba(f4)a(f[6)ab()x(fA)x(fA)x(fA)x(fAdx)x(f 000020i00iiba?????????? ???這稱為 Simpsion公式 )x(fy?)x(Ly 2?xy圖 2 Simpson公式 幾何意義：用拋物線替 作曲邊的曲邊梯形 面積代替 f(x)作為曲邊的曲邊梯形面積。 )x(Ly 2?? ? CfffffabIn 記為有時(shí) ???????? 432104 7321232790,4這稱為 Cotes公式 。 對應(yīng)于 情形的 Cotes系數(shù)見表 52 (書 106頁 )。 8?n 復(fù)合求積公式 求積公式的穩(wěn)定性分析： ? ?? ?計(jì)算穩(wěn)定這時(shí)），所以均同號（見表時(shí)，注意到則記誤差為的近似值為設(shè)ini1ini1n0iinnn0in0iiinin0iiin0in0iiiiinnn0iiiniiiiiem a x)ab(em a xAI~IabAA25C7neA)x(f~A)x(fAI~I.)x(f~AI~,)x(f~)x(fe,n,1,0i)x(f~)x(f?????? ??? ??????????????????????????? ??? ??? 等距節(jié)點(diǎn)的插值求積公式，當(dāng) n較大（ n7）時(shí)，系數(shù) 中出現(xiàn)負(fù)數(shù)，而且有正有負(fù)，這將使舍入誤差增大并難于 估計(jì)，因此實(shí)際計(jì)算時(shí)一般不用 n較大的公式，而是將積 分區(qū)間 (a,b)分成 n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上用低階 New Cotes公式計(jì)算積分的近似值，然后對這些近似值求和，從 而得到所求積分的近似值，由此得到一些有實(shí)際意義的求 積公式，稱為 復(fù)合求積公式 。 (n=1,簡記為 Tn ) ? ??????????????????????1n1ikk1kn1kknk1kkkk1k)]b(f)x(f2)a(f[2h)]x(f)x(f[2hTTn,2,1k)]x(f)x(f[2hT.TTx,x對每個(gè)小區(qū)間疊加：公式，積分值積為上使用對區(qū)間 Cotes公式 (n=4，簡記為 Cn )(公式見書 107頁） Simpson公式 (n=3,簡記為 Sn ) ? ?? ????????????????????????????n1k1n1kk21kk21k1kn1kknk21k1kk21kk1k)]b(f)x(f2)x(f4)a(f[6h)]x(f)x(f4)x(f[2hSSn,2,1k)]x(f)x(f4)x(f[6hSS i m p s o n,x,x,x對每個(gè)小區(qū)間疊加：公式：在其上使用其中點(diǎn)即為上對區(qū)間1kx? kx21kx?41kx? 43kx?? ?)]b(f7)x(f14)x(f32)x(f12)x(f32)a(f7[90hcC)]x(f7)x(f32)x(f12)x(f32)x(f7[90hCx,x1n1kkn1k 41kn1k 21kn1k 43kn1kknk43k21k43k1kkk1k????????????????????????????????四等分將每個(gè)子區(qū)間 h 21201h,2n:S1101h,1n:S414abh,4n:T214?????????????a b21xa b2x1x 3xa b1x21x 23x解： 1寫出公式 ????????????????1n1kkn1k 21kn1n1ikn)]b(f)x(f2)x(f4)a(f[6hS)]b(f)x(f2)a(f[2hT 例 1 計(jì)算 ，求 ? ?? 10 2 dxx1 4I 214 S,S,T 1421324411 102411 106
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