【正文】 3 3 3我們分析一下 ： T21121121111211112[ ( ) ]2214()3614[ ( ) 2 ( ) ( ) ] ( )3 2 6[ ( ) 4 ( ) 2 ( ) ( ) ]6nnn n nkknnkknnkkkknnkkkknT hT T T f x TT h f xhf a f x f b h f xhf a f x f x f bS????????????? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ????????4 1 4 13 3 3 3222241 ( ) , ( )3 3 2n n n n nhT S T T T O h T O? ? ? ?** 2nnS T I T I? ? ? ?比 效 果 更 好 。2142kk2k SSTx14)x(fx1K??? 0 1 4 1 1 1 1 2 4 2 2 4 2 3 2 4 4 2 2 1 1 1 ? 例 2 試?yán)帽?53的函數(shù)表，分別用復(fù)合梯形公式、復(fù)合Simpson公式和復(fù)合 Cotes公式計(jì)算定積分 ? ?? 10 dxxeI x解 ? ?81k2f322190143f41f1221f14)1(f)0(f721901C81k2f44kf2)1(f)0(f4161S8kf2)1(f)0(f8121T41k231k41k471k8????????????? ?????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????? ???? ??計(jì)算量幾乎相同。,1,0)()( ??? knixfxLikikn這類公式稱為 插值型數(shù)值微分公式 。 *2 2 2, , .n n n n nI I I I I I?? ? ? ?區(qū) 間 折 半即 若 則( 4 ) ( 6 )( ) , ( ) , ( )f f f? ? ??? —— 逐次分半法 以梯形公式為例： 2*12*2 2 2[ , ] ( ) ( ) ( )12()2( ) ( ) ( )12nnnnha b n R T I T b a fhR T I T b a f????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?將 等 分區(qū) 間 分 半12***2*2**2 2 2 2( ) [ , ] ( ) ( )4 4 413 ( ) ( )41nnnnn n n n n nf x a b f fITI T I TITI T T T I T T T???? ?? ????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??若 在 內(nèi) 變 化 不 大 ， 即**2 2 2 2*2211( ) ( )4 1 3,n n n n n nn n nI T T T T I T TI T T T??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?— — 用 其 誤 差 為要 使 只 要 即 可 ！22 222 31()411()41n n nn n nI S S SI C C C? ? ??? ? ??類 似 可 得所以 221 ()41n n nI T T T? ? ??—— 逐項(xiàng)二次區(qū)間，只要相鄰兩次近似值之差小于 ，則后一次值即為所求，這時(shí) h也為所求步長，這就是變步長法則。計(jì)算過程實(shí)質(zhì)是將區(qū)間逐次分半計(jì)算 ，然后利用加速公式，故又叫逐次分半加速法。 simpson,cotes公式也可類似進(jìn)行處理。 xY )x(fy?)x(Ly 1?圖 1梯形公式 61dt)1t(t21C64dt)2t(t21C61dt)2t)(1t()!02(!02)1(C,2n20)2(220)2(12002)2(0????????????????????有時(shí)0x 1x 2xa 2/)ba( ? b)]b(f)2ba(f4)a(f[6)ab()x(fA)x(fA)x(fA)x(fAdx)x(f 000020i00iiba?????????? ???這稱為 Simpsion公式 )x(fy?)x(Ly 2?xy圖 2 Simpson公式 幾何意義：用拋物線替 作曲邊的曲邊梯形 面積代替 f(x)作為曲邊的曲邊梯形面積。 ??3 5 3 5 5 )2( ??f為估計(jì)二階導(dǎo)數(shù)數(shù)值微分公式的誤差，可設(shè) f (x) 四階連續(xù)可微，故得 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? )xx(f12h)x(fhy2ff!4h)x(fhy2yyxx,xx)(f!4h)x(f!3h)x(f2h)x(fh)x(f)hx(fyf!4h)x(f!3h)x(f2h)x(fh)x(f)hx(fy204412124144121021202112441312111014413121112????????????????????????????????????????????????????相加得這里從而得到誤差估計(jì)式 ? ? ? ? )85(f12hhyy2y)x(f 4220121 ????????? 插值型數(shù)值積分 插值型數(shù)值積分的思想是 ： 若已知