常用數(shù)值分析方法3插值法與曲線擬合(編輯修改稿)
2025-06-20 03:12 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 求： 函數(shù)關(guān)系式 y=f(x) — 偏差 Ri = iRT m a x?盡可能最小 21niiDR?? ?盡可能最小 限制條件 (3個(gè) ) 最小二乘法 )( im xp理論計(jì)算值（擬合函數(shù)值） 試驗(yàn)測(cè)定值 iy函數(shù)的最佳一致逼近 概述 盡可能最小 1niiAR?? ? 05:20 2021/6/17 15/37 最小二乘技術(shù) 010100 1 12 2 2 0mjjinmjjj i iijkknmj k kj i i iijm n nj k kj i i ij i iaxDa x yaaa x y xa x y x???????? ? ?????????? ? ?????????????? ? ?????????? ? ? ???????????????? ? ?? ??? ?? ???????? ??? niimjjijnii yxaRD02002 最小 多元函數(shù)的極值問(wèn)題 問(wèn)題轉(zhuǎn)化 曲線擬合 0???kaD ( k = 0 , 1 , 2 , … , m ) 05:20 2021/6/17 16/37 0 1 1m n nj k kj i i ij i ia x y x?? ? ?????????? ? ??????????????????????????????mmmmmmmmmmmmmtasasasastasasasastasasasastasasasas???????221100222221210201121211101000202101000 skj tk ??mjja0= ( k = 0 , 1 , 2 , … , m ) 問(wèn)題轉(zhuǎn)化 多元函數(shù)的極值問(wèn)題 曲線擬合 解多元線性方程組 問(wèn)題轉(zhuǎn)化 解方程組之前 ？ m 的確定 略 05:20 2021/6/17 17/37 多項(xiàng)式的次數(shù)（ m）的確定 初設(shè) m=1 擬合多項(xiàng)式 計(jì)算各節(jié)點(diǎn)偏差 Ri ??iRm a x合理，輸出結(jié)果 Yes No m=m+1 解 m 元 線性方程組 最小二乘法 ε為預(yù)先選定的一個(gè)足夠小的正數(shù) 05:20 2021/6/17 18/37 多項(xiàng)式擬合舉例 例 1 設(shè)在某材料的熱膨脹系數(shù)試驗(yàn)中，測(cè)得一批數(shù)據(jù)如表 所示，希望用一簡(jiǎn)單公式表示這些數(shù)據(jù)的關(guān)系。 T(K) 405 420 436 452 471 495 ΔL() 0 表 熱膨脹系數(shù)試驗(yàn)數(shù)據(jù) 解 ：由數(shù)據(jù)之間的關(guān)系和我們已知的材料熱膨脹規(guī)律可知，這些點(diǎn)大體上分布在一條直線上，因此可用線性式表示為： bTaL ???如果我們將上述六組數(shù)據(jù)代入上式，可得： 4 0 5 0ab?? 4 2 0 0 .6ab?? 4 3 6 1 .1ab??4 5 2 1 .8ab?? 4 7 1 2 .4ab?? 4 9 5 3 .1ab?? 05:20 2021/6/17 19/37 顯然，上述方程組中只有兩個(gè)未知參數(shù)，任取兩個(gè)方程即可解出 a, b。其幾何意義就是任選兩點(diǎn)，連成一線，故該法又稱“ 選點(diǎn)法 ”。然而，由于試驗(yàn)誤差的存在，這些點(diǎn)并不會(huì)在同一條直線上，因此隨著選點(diǎn)不同， 得到的 a, b的值也有差異 ，如： 選 2點(diǎn)得： 選 5點(diǎn)得： 4 0 5 04 2 0 0 .6abab???????解之得： 4ab??????4 5 2 1 .84 7 1 2 .4abab???????解之得： 1 2 .4 70 .0 3 1 6ab?????? 造成上述不同結(jié)果的 原因 是當(dāng)試驗(yàn)觀測(cè)點(diǎn)數(shù)大于待定參數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，代入所有點(diǎn)數(shù)據(jù)將出現(xiàn)一個(gè)矛盾方程組，選點(diǎn)法并未充分利用所有試驗(yàn)數(shù)據(jù)，故結(jié)果不可靠；而用曲線擬合法，則可避免該問(wèn)題。 05:20 2021/6/17 20/37 bTaL ???仍設(shè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)滿足直線關(guān)系： 用前面介紹的最小二乘法進(jìn)行曲線擬合，此處是最簡(jiǎn)單的一元線性擬合 。 （ 1）用最小二乘法（偏導(dǎo)）分析或直接用前面介紹的公式寫(xiě)出最小二乘法得到的線性方程組的系數(shù)表達(dá)式： 611611 ( , 0 , 1 ) ( 0 , 1 )nj k j kjk i iiinkkk i i i iiiS T T j kt L T L T k??????? ? ?? ? ? ? ?????6 6 60 1 20 0
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