diracδ函數(shù)及其性質(zhì)(編輯修改稿)
2025-06-15 12:47 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ?sinxx???sinlim??的極限 根據(jù)上述討論可知，函數(shù) 滿足 δ(x)函數(shù)的條件，可以表示 Dirac δ(x)函數(shù)，即(7)式成立。 3)、函數(shù) 22sinxx??? 的極限 22sinlim x x?? ?? ??也滿足 δ(x)函數(shù)的條 件，即： 22s i nl i m)(xxx????? ???(8) 其中 α0。 證明 ： 當(dāng) x=0時(shí)， ???? ?????? ??? ????? ? ??? l i m]s i n[l i m]s i n[l i m 222 x xx x當(dāng) x≠0時(shí)， sin(αx)/(αx) 以周期 2π/α振蕩，振幅隨著|αx|的增加而減小。所以： 當(dāng) α→∞ 時(shí)， sin(αx)/(αx)→0 0]s i n[l i ml i m]s i n[l i m]s i n[l i m 2222 ??? ???????? x xx xx x ? ???? ????? ? ????于是有： 查找定積分表可得到： ???? ? ?dxx x22s i n于是有： 1)()( )(s i nl i m1s i nl i ms i nl i m 222222??? ??? ????????????? ?? xdx xdxx xdxx x ?? ???? ??? ? ???根據(jù)上述討論可知，函數(shù) 22sinxx??? 的極限 22sinlimxx???? ??可以表示 Diracδ(x)函數(shù)，即式 (8)成立。 22s i nl i m)(xxx????? ???(8) 4)、階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可以表示 Dirac δ(x)函數(shù)。 根據(jù)第一次課所講的內(nèi)容可知，階躍函數(shù) step(x)也稱為 Heaviside函數(shù)，也可以用 H(x)表示，其定義如下： ????????????axaxaxaxH，，2101)( (9) 函數(shù) H(xa)對(duì) x的導(dǎo)數(shù)也滿足 δ(x)的條件，即： )()( axHdxdx ???(10) 很容易看出，當(dāng) x≠a時(shí)， 0l i m 0 ?????? dxdHxHx而當(dāng) x=a時(shí)， ??????? dxdHxHx 0l i m利用分步法計(jì)算積分，有： ?????????????????????????
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