【文章內容簡介】 值比率＝ （股） 借款數(shù)額＝（到期日下行股價 套期保值率） /（ 1＋ 6%9/12 ）＝（ 8 ） /（ 1＋ %）＝（元） （ 5）期權價值＝購買股票支出－借款＝ 10 － ＝ （元） 二、風險中性原理 所謂風險中性原理是指：假設投資者對待風險的態(tài)度是中性的，所有證券的預期收益率都應當是無風險利率。風險中性的投資者不需要額外的收益補償其承擔的風險。在風險中性的世界里，將期望 值用無風險利率折現(xiàn)，可以獲得現(xiàn)金流量的現(xiàn)值。 在這種情況下，期望報酬率應符合下列公式： 期望報酬率＝無風險利率＝（上行概率 上行時收益率）＋（下行概率 下行時收益率） 假設股票不派發(fā)紅利，股票價格的上升百分比就是股票投資的收益率，股價下降的百分比就是“ －收益率 ” ，因此： 期望報酬率＝無風險利率＝（上行概率 股價上升百分比）＋（下行概率 －股價下降百分比） 【公式推導】 假設上行概率為 P，則下行概率為 1－ P，于是有： r＝ P （ u－ 1）＋（ 1－ P） （ d－ 1） 解之得： 有了概率之后，即可計算期權到期日價值的期望值，然后，使用無風險利率折現(xiàn)，就可以求出期權的現(xiàn)值。 風險中性原理計算期權價值的基本步驟（假設股票不派發(fā)紅利）： 【方法一】 期望報酬率＝（上行概率 股價上升百分比）＋（下行概率 －股價下降百分比）＝無風險利率 【方法二】 期權價值＝（上行概率 上行時的到期日價值＋下行概率 下行時的到期日價值） /（ 1＋ r） 【例】假設 ABC公司的股票現(xiàn)在 的市價為 50元。有 1股以該股票為標的資產的看漲期權，執(zhí)行價格為 。到期時間是 6個月。 6個月后股價有兩種可能：上升 %，或者降低 25%。無風險利率為每年 4%。假設該股票不派發(fā)紅利。 要求：根據(jù)風險中性原理計算該看漲期權的價值。 [答疑編號 3949090501] 『正確答案』 （ 1）確定可能的到期日股票價格 Su＝ 50 （ 1＋ %）＝ （元） Sd＝ 50 （ 1－ 25%）＝ （元） （ 2）根據(jù)執(zhí)行價格計算確定到期日期權價值 Cu＝ Max（ － ， 0）＝ （元） Cd＝ Max（ － ， 0）＝ 0 （ 3）計算上行概率和下行概率 期望報酬率＝ 2%＝上行概率 % ＋（ 1－上行概率） （－ 25%） 上行概率＝ 下行概率＝ 1－ ＝ 【提示】 （ 4）計算期權價值 6個月后的期權價值期望值＝ ＋ 0 ＝ （元） 期權價值 C0＝ （ 1＋ 2%）＝ （元） 【分析】期權定價以套利理論為基礎 。 期權價值＝ 等價投資組合：購買 ，借入 。 （ 1）如果期權的價格高于 對策：賣出 1股看漲期權；購入 ，借入 —— 肯定盈利 （ 2）如果期權價格低于 對策：買入 1股看漲期權；賣空 ，同時借出 。 —— 肯定盈利 結論：只要期權定價不是 ，市場上就會出現(xiàn)一臺 “ 造錢機器 ” 。套利活動會促使期權只能定價為 。 【例 計算分析題】（ 2020舊制度） D公司是一家上市公司，其股票于 2020年 8月 1日的收盤價為每股 40元。有一種以該股票為標的資產的看漲期權，執(zhí)行價格為 42元，到期時間是 3個月。 3個月以內公司不會派發(fā)股利， 3個月以后股價有 2種變動的可能：上升到 46元或者下降到 30元。 3個月到期的國庫券利率為 4%（年名義利率）（注 :報價利率）。 要求： （ 1）利用風險中性原理，計算 D公司股價的上行概率和下行概率，以及看漲期權的價值。 （ 2）如果該看漲期權的現(xiàn)行價格為 ，請根據(jù)套利原理，構建一個投資組合進行套利。 [答疑編號 3949090502] 『正確答案』 （ 1）股價上升百分比＝（ 46－ 40） /40100% ＝ 15% 股價下降百分比＝（ 30－ 40） /40100% ＝－ 25% Cu＝ 46－ 42＝ 4（元） Cd＝ 0 期望報酬率＝ 4%/4＝上行概率 15% ＋（ 1－上行概率） （－ 25%） 上行概率＝ 下行概率＝ 1－上行概率＝ 看漲期權價值＝（ 4 ＋ 0 ） /（ 1＋ 1%）＝ （元） 【提示】概率也可直接按照公式計算： （ 2）套期保值比率＝（ 4－ 0） /（ 46－ 30）＝ 借款＝ 30 5/（ 1＋ 1%）＝ （元） 由于期權價格（ ）低于期權價值（ ），可以賣空 ，借出款項 ，同時買入 1股看漲期權。 【獲利情況計算】 賣出 ，借出款項 ，此時獲得 40 － ＝ （元）； 買入 1股看漲期權，支付 獲利 － ＝ （元）。 【知識點 2】二叉樹期權定價模型 一、單期二叉樹模型 關于單期二叉樹模型，其計算結果與前面介紹的復制組合原理和風險中性原理是一樣的 。 以風險中性原理為例： 根據(jù)前面推導的結果： 式中： Co＝期權價格； Cu＝股價上升時期權到期日價值 Cd＝股價下行時期權到期日價值； r＝無風險利率 u＝股價上行乘數(shù)； d＝股價下行乘數(shù) 【提示】二叉樹模型建立在復制原理和風險中性原理基礎之上的，比較而言，風險中性原理比較簡單，應用風險中性原理時，可以直接應用這里的上行概率計算公式計算上行概率，然后計算期權價值。 二、兩期二叉樹模型 如果把單期二叉樹模型的到期時間分割成兩部分，就形成了兩期二叉樹模型。由單期模型向兩期模型的擴展，不過是單期模型的兩次應用。 計算出 Cu、 Cd后，再根據(jù)單期定價模型計算出 C0。 【例】假設 ABC公司的股票現(xiàn)在的市價為 50元。有 1股以該股票為標的資產的看漲期權，執(zhí)行價格為 。到期時間是 6個月。無風險利 率為每年 4%。 把 6個月的時間分為 2期，每期 3個月。每期股價有兩種可能：上升 %，或下降 %。 【提示】本例前面為 6個月一期時，無風險利率 2%，本題三個月一期時，無風險利率 1%。并沒有考慮報價利率和有效年利率的問題。 [答疑編號 3949090503] 『正確答案』 第一步，計算 Cu、 Cd的價值 【采用復制組合定價】 套期保值比率＝期權價值變化 /股價變化＝（ － 0） /（ － 50）＝ 購買股票支出＝套期保值比率 股票現(xiàn)價＝ ＝ （元） 借款數(shù)額＝（到期日下行股價 套期保值比率） /（ 1＋利率） ＝ 50＝ （元） Cu＝ － ＝ （元） 由于 Cud、 Cdd均為 0，因此， Cd＝ 0 【采用風險中性定價】 1%＝上行概率 % ＋（ 1－上行概率） （－ %） 上行概率＝ 期權價值 6個月后的期望值＝ ＋（ 1－ ） 0 ＝ Cu＝ ＝ （元） 由于 Cud、 Cdd均為 0，因此， Cd＝ 0 【采用兩期二叉樹模型】 第二步，根據(jù) Cu、 Cd計算 C0的價值。 【采用復制組合定價】 套期保值比率＝ （ － ）＝ 購買股票支出＝ 50 ＝ （元） 借款數(shù)額＝（ ） /＝ （元） C0＝ － ＝ （元） 【采用風險中性原理】 【采用兩期二叉樹模型】 三、多期二叉樹模型 原理 從原理上看，與兩期模型一樣，從后向前逐級推進 乘數(shù)確定 期數(shù)增加以后帶來的主要問題是股價上升與下降的百分比如何確定問題。期數(shù)增加以后，要調整價格變化的升降幅度，以保證年收益率的標準差不變。把年收益率標準差和升降百分比聯(lián)系起來的公式是： 其中： e＝自然常數(shù)，約等于 σ ＝標的資產連續(xù)復利收益率的標準差 t＝以年表示的時間長度 【例】已知某期權標的股票收益率的標準差 σ ＝ ，該期權的到期時間為 6個月。要求計算上行乘數(shù)和下行乘數(shù)。 [答疑編號 3949090601] 『正確答案』 如果將 6個月劃分為 2期，計算上行乘數(shù)和下行乘數(shù)。 時間間隔為 1/4年，則 u＝ ，即上升 %； d＝ ，即下降 % 做題程序： （ 1）根據(jù)標準差和每期時間間隔確定每期股價變動乘數(shù)（應用上述的兩個公式） （ 2）建立股票價格二叉樹模型 （ 3）根據(jù)股票價格二叉樹和執(zhí)行價格，構建期權價值的二叉樹。 構建順序由后向前，逐級推進。 —— 復制組合定價或者風險中性定價。 （ 4）確定期權的現(xiàn)值 【例】已知：股票價格 So＝ 50元，執(zhí)行價格 ，年無風險 利率 4%，股價波動率（標準差） ，到期時間 6個月，劃分期數(shù)為 6期。要求計算期權價值。 [答疑編號 3949090602] 『正確答案』 u＝ d＝ 【注意】計算中注意 t必須 為年數(shù)，這里由于每期為 1個月，所以 t＝ 1/12年。 上行百分比＝ u－ 1＝ － 1＝ % 下行百分比＝ 1－ d＝ 1－ ＝ % 4%/12＝上行概率 % ＋（ 1－上行概率） （－ %） 上行概率＝ 下行概率＝ 1－ ＝ 【提示】概率的計算也可以采用下式： 上行概率 下行概率＝ 1－ ＝ 【填表規(guī)律】以當前股價 50為基礎， 先按照下行乘數(shù)計算對角線的數(shù)字；對角線數(shù)字確定之后，各行該數(shù)字右邊的其他數(shù)字均按照上行乘數(shù)計算。 ，構建期權價值二叉樹。并計算期權價值 買入期權價格 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 【提示】運用風險中性原理的關鍵是計算概率。概率的計算有兩種方法： （ 1）直接按照風險中性原理計算 期望報酬率＝（上行概率 上行時收益率）＋（下行概率 下行時收益率） 假設股票不派發(fā)紅利，股票價格的上升百分比就是股票投資的收益率，因此： 期望報酬率＝（上行概率 股價上升百分比）＋（下行概率 －股價下降百分比） （ 2）按照公式計算 【知識點 3】布萊克 — 斯科爾斯期權定價模型（ B－ S模型） 一、布萊克 — 斯科爾斯期權定價模型假設 （ 1）在期權壽命期內，買方期權標的股票不發(fā)放股利，也不做其他分配； （ 2）股票或期權的買賣沒有交易成本； （ 3）短期的無風險利率是已知的，并且在期權壽命期內保持不變； （ 4）任何證券購買者能以短期的無風險利率借得任何 數(shù)量的資金； （ 5）允許賣空，賣空者將立即得到賣空股票當天價格的資金； （ 6）看漲期權只能在到期日執(zhí)行； （ 7）所有者證券交易都是連續(xù)發(fā)生的，股票價格隨機游走。 二、布萊克 — 斯科爾斯期權定價模型 布萊克 — 斯科爾斯期權定價模型，包括三個公式： 其中： C0—— 看漲期權的當前價值 S0—— 標的股票的當前價格 N（ d） —— 標準正態(tài)分布中離差小于 d的概率 —— 查附表六（正態(tài)分布下的累積概率） X—— 期權的執(zhí)行價格 e—— 自然對數(shù)的底數(shù)， e≈ rc—— 連續(xù)復利的年度的無風險利率 t—— 期權到期日前的時間（年） ln（ S0/X）＝ S0/X的自然對數(shù) σ 2＝連續(xù)復利的以年計的股票回報率的方差（ sigma） 【總結】 （ 1）期權價值的五個影響因素： S0、 X、 rc、 σ 、 t（注意多選）。 （ 2）做題的程序 :d1 ； d2→N （ d1）； N（ d2） →C 0 【例 計算分析題】 2020年 8月 15日，甲公司股票價格為每股 20元，以甲公司股票為標的的代號為甲 20的看漲期權的收盤價格為每股 ，甲 20表示此項看漲期權的行權價格為每股 20元。截至 2020年 8月 15日，看漲期權還有 3個月到期。甲公司股票回報率的標準差為 ，資本市場的無風險利率為年利率 12%。 要求： （ 1）使用布萊克－斯科爾斯模型計算該項期權的價值（ d1和 d2的計算結果取兩位小數(shù)，其他結果取四位小數(shù)）。 （ 2）如果你是 一位投資經(jīng)理并相信布萊克－斯科爾斯模型計算出的期權價值的可靠性，簡要說明如何作出投資決策。 [答疑編號 3949090603] 『正確答案』 （ 1） ＝ d2＝ － ＝ － ＝ 查附表六可以得出： N（ d1）＝ N（ ）＝ N