【文章內(nèi)容簡介】 ttXtXTTBB )()(01)(?)( ????? ??????)(?B其具體做法如下： 把 [0 ， T ] 等分為 N 個(gè)長 NTt ?? 的小區(qū)間，在時(shí)刻 tkt k ??? )21( （ Nk ,2,1 ?? ）對 )( tX 取樣，1 得樣本函數(shù)的 N個(gè)值 )( kk tXX ? ， Nk ,2,1 ??將上面的積分表示為和式 2 3 首頁 tXTm kNk?? ?? 11?kNkXN ???11?)(? ?B tXXT rkkrNkr?? ????11?rkkrNkXXrN ??????11其中 trr ??? ， mr ,2,1,0 ?? ， Nm ?根據(jù)這兩個(gè)估計(jì)式，可以算出 各不同數(shù)值時(shí)相關(guān)函數(shù)的一系列近似值，從而可以作出相關(guān)函數(shù)的近似曲線。 ?,2,1,0?r返回 首頁 第六章 鞅和鞅表示 第一節(jié) 離散鞅 第二節(jié) 連續(xù)時(shí)間鞅 第三節(jié) 鞅軌跡的特征 第四節(jié) 鞅舉例 第五節(jié) 鞅表示 第一節(jié) 離散鞅 一、離散鞅的定義及性質(zhì) 定義 1 若隨機(jī)序列 ?,2,1,0},{ ?nX n對任意 0?n ，有（ 1） ??||nXE（ 2） nnn XXXXE ?? ),|( 01 ?則稱 }{ nX 為離散鞅序列 簡稱為鞅 首頁 注 無后效性 鞅的直觀背景解釋 設(shè)想賭徒在從事賭博過程中，他在第 n年的賭本為 表示在已知前 n年的賭本 的條件下，第 n+1年的平均賭本。 而鞅 則表示這種賭博使第 n+1年的平均賭本仍為第 n年的賭本，這種賭博稱為公平賭博。 如果 }{ nX 為鞅，則它有某種即當(dāng)已知時(shí)刻 n 以及它以前的值 nXX ,0 ? ，那么 n +1 時(shí)刻的值 1?nX 對 nXX ,0 ? 的條件期望與時(shí)刻 n 以前的值 10 , ?nXX ? 無關(guān)，并且等于 nXnX),|( 01 nn XXXE ?? nXX ,0 ?nnn XXXXE ?? ),|( 01 ?首頁 定義 2 對任意 0?n ，有（ 1） ??||nXE（ 2） 簡稱 為鞅 設(shè) }{ nX 及 }{ nY ， ?,2,1,0?n ，為兩個(gè)隨機(jī)序列，nX 是 nYY ， ?0 的函數(shù)；（ 3） nnn XYYXE ?? ),|( 01 ?則稱 }{ nX 關(guān)于 }{ nY 為鞅，}{ nX首頁 定理 1 充分性顯然 證 }{ nX 關(guān)于 }{ nY 是鞅的充要條件為，對任意非負(fù)整數(shù) m ， n （ nm ? ）有nnm XYYXE ?),|( 0 ?必要性用歸納法來證 由假設(shè)知 （ 1） 當(dāng) 1?? nm 時(shí) （ 1 ）成立。設(shè)當(dāng) knm ?? （ 1?k ）時(shí) （ 1 ）成立，則有 ),|( 01 nkn YYXE ???],|),|([ 001 nknkn YYYYXEE ?? ????),|( 0 nkn YYXE ???nX?即當(dāng) 1??? knm 時(shí) （ 1 ）成立。首頁 性質(zhì) 1 常數(shù)序列 為鞅。 證 性質(zhì) 2 即 證 }{ nc 其中 cc n ?),|( 01 nn YYcE ?? ),|( 0 nYYcE ?? ncc ??若 }{ nX 為鞅，則對任意 0?n ，有0EXEX n ?nX 的數(shù)學(xué)期望 nEX 是一常數(shù) 0EX)],|([ 011 nnn YYXEEEX ??? ? nEX?依次遞推，可得 01 EXEXEX nn ??? ? ?首頁 例 1 令 且對任意 有 證 由條件期望的性質(zhì)可得 設(shè) }{ nY （ ?,2,1,0?n ）為獨(dú)立隨機(jī)序列，00 ?Yknkn YX ???0?? ),|( 01 nn YYXE ? ],|)[( 01 nnn YYYXE ???),|( 0 nn YYXE ?? ),|( 01 nn YYYE ???1??? nn EYX nX?0?nEY0?n則 }{ nX 關(guān)于 }{ nY 是鞅??? ??||||0knkn YEXE且 所以 }{nX 關(guān)于 }{ nY 是鞅首頁 例 2 令 證 （ 1） 設(shè) }{ nY 是任一隨機(jī)序列，X 為滿足 ??|| XE 的任一隨機(jī)變量),|( 0 nn YYXEX ?? 0?n則 }{ nX 關(guān)于 }{ nY 是鞅|),|(||| 0 nn YYXEEXE ??)],||(|[ 0 nYYXEE ?? ??? || XE（ 2） ),|(01 nn YYXE ??],|),|([ 010 nn YYYYXEE ?? ??),|( 0 nYYXE ?? nX?所以 }{ nX 關(guān)于 }{ nY 是鞅。],|),|([ 100 ?? nn YYYYXEE ??首頁 定義 3 對任意 0?n ，有（ 1） ??|| nXE（ 2） 簡稱 為上鞅 設(shè) }{ nX 及 }{ nY ， ?,2,1,0?n ，為兩個(gè)隨機(jī)序列，nX 是 nYY ， ?0 的函數(shù)；（ 3） }{ nX二、上、下鞅的定義及性質(zhì) nnn XYYXE ?? ),|( 01 ?則稱 }{ nX 關(guān)于 }{ nY 為上鞅類似 下鞅 nnn XYYXE ?? ),|( 01 ?首頁 關(guān)于上、下鞅的的直觀解釋： 上鞅表示第 n+1年的平均賭本不多于第 n年的賭本，即具有上鞅這種性質(zhì)的賭博是虧本賭博； 下鞅表示第 n+1年的平均賭本不少于第 n年的賭本，即具有下鞅這種性質(zhì)的賭博是盈利賭博。 性質(zhì) 3 為鞅的充分必要條件是， 既為上鞅也為下鞅。 性質(zhì) 4 上鞅 }{ nX }{ nX}{ nX 下鞅 }{ nX? 下鞅 }{nX 上鞅 }{ nX?首頁 性質(zhì) 5 上鞅 }{nXnnm XYYXE ?),|( 0 ?nm ?0,0 ?? nm 下鞅 }{nXnnm XYYXE ?),|( 0 ?nm ?0,0 ?? nm證明 同定理 1類似。用數(shù)學(xué)歸納法 首頁 性質(zhì) 6 上鞅 }{nX 下鞅 }{nXnk EXEXEX ??0nk ??0nk ??0證 由性質(zhì) 5得 kkn XYYXE ?),|( 0 ? 上鞅 }{nXkkn EXYYXEE ?)],|([ 0 ??nEXnk EXEXEX ??0首頁 上鞅 性質(zhì) 7 、 上鞅 }{nX }{ nY }{ nn YX ? 下鞅 、 下鞅 }{nX }{ nY }{ nn YX ?證 對 nm ? 有)],|)[( 0 nmm YYYXE ??),|( 0 nm YYXE ?? ),|( 0 nm YYYE ?? 上鞅 }{nX }{ nY nnYX ??首頁 上鞅 性質(zhì) 8 上鞅 下鞅 }{ nX}{ nY證 }{ nn YX ? 下鞅 下鞅 上鞅 }{ nX}{ nY}{ nn YX ?由性質(zhì) 4及性質(zhì) 7立即可得結(jié)果 首頁 性質(zhì) 9 鞅 }{nX 下鞅 證明 |}{| nX對 nm ? 有),||(| 0 nm YYXE ?|),|(| 0 nm YYXE ?? || nX?例 3 設(shè) { ， }是在直線上整數(shù)點(diǎn)上的貝努利隨機(jī)游動(dòng)，即它是一個(gè)以 為狀態(tài)空間的時(shí)齊的馬爾可夫鏈，它的轉(zhuǎn)移矩陣 滿足 nX ?,2,1,0?n},2,1,0{ ????I)( ijpP ?首頁 其中 則 （ 1） ????????????1||,01,1,ijijqijpp iiijpp i ? ， qq i ? ， 10 ?? p ， 1?? qp{ nX ， ?,2,1,0?n } 是下鞅的充要條件是 qp ?（ 2） （ 3） { nX ， ?,2,1,0?n } 是上鞅的充要條件是 qp ?{ nX ， ?,2,1,0?n } 是鞅的充要條件是 qp ?首頁 證 設(shè) 其中 所以 故 nn XX ??? ????? ?2100X 表示初始位置{ n? } 與 0X 獨(dú)立{ n? ， ?,2,1,0?n } 相互獨(dú)立，且具有同分布：pP n ?? )1(? qPn ??? )1(? 1?n由 nX 的定義知，1?n? 與 { 0X ， 1X ，?， nX } 獨(dú)立),|( 011 XXXXE nnn ???),|( 011 XXXE nnn ???? ? ),|( 01 XXXXE nnn ???)( 1?? nE ? nX? qp ??nX?),|( 011 XXXXE nnn ??? nX?qp ??下鞅 0 0 =0 上鞅 鞅 首頁 三、停時(shí) 定義 5 設(shè) }{ nY （ ?,2,1,0?n ）是一隨機(jī)序列，? 是取值 0 ， 1 ，?， ? 的一個(gè)隨機(jī)變量，若對任意 0?n ，事件 }{ n?? 由 nYY ,0 ? 決定，意即只從 nYY ,0 ? 的知識判別 n?? 與否，也即 ),( 0}{}{ nnn YY ??? ? ?? ??則稱 ? 關(guān)于 }{ nY 為停時(shí)，簡稱 為停時(shí) ?首頁 停時(shí)的直觀背景解釋： 設(shè)想賭徒在前 n+1次賭博的賭本為 ，那么停時(shí)就是這個(gè)賭徒?jīng)Q定何時(shí)停止賭博的策略。 停時(shí)的性質(zhì)表示 這一