【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 }0)0()({ ??? XtXP tetXP ????? }0)({首頁(yè) 這就證明了到達(dá)時(shí)間間隔序列 是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列 ， 且都具有相同均值為 的指數(shù)分布 。 例 3 nT （ 1?n ）?/1甲、乙兩路公共汽車都通過(guò)某一車站，兩路汽車的到達(dá)分別服從 10分鐘 1輛（甲）， 15分鐘 1輛（乙）的泊松分布。假定車總不會(huì)滿員，試問(wèn)可乘坐甲或乙兩路公共汽車的乘客在此車站所需等待時(shí)間的概率分布及其期望。 解 反映甲、乙兩路公共汽車到達(dá)情況的泊松分布 )(1 tX 和 )(2 tX 的生起率分別為 10/11 ?? ， 15/12 ??下面證明兩路車混合到達(dá)過(guò)程 服從生起率為 )(tX21 ??? ?? 的泊松分布首頁(yè) 事實(shí)上 且 所以由泊松過(guò)程的定義可知 因此 )( tX = )(1 tX + )(2 tX 是獨(dú)立增量)()( tXstX ?? 是相互獨(dú)立地服從泊松分布的隨機(jī)變量)()( 11 tXstX ?? 及 )()( 22 tXstX ?? 的和，)(tX 服從均值為 s? 的泊松分布。)( tX 服從生起率為 6/115/110/1 ???? 的泊松過(guò)程。由定理 1知公共汽車的到達(dá)時(shí)間間隔服從均值為 6分鐘的指數(shù)分布。 再由指數(shù)分布的無(wú)記憶性， 這位乘客的等待時(shí)間也服從均值為 6分鐘的指數(shù)分布。 首頁(yè) 定理 2 其概率密度為 設(shè) { )( tX ， 0?t } 為泊松過(guò)程，證 則等待時(shí)間 nW （ 1?n ）服從 ),( ?n? 分布，)( tf)!1()( 1????nte nt ?? ?， 0?t因?yàn)? 事件 }{ tW n ? 等價(jià)于事件 { ntX ?)( }所以 nW 的分布函數(shù)為}{)( tWPtF n ?? })({ ntXP ??tnkkekt ?? ????? !)( 0?t 首頁(yè) 于是 nW 的概率密度為)()( tFtf ?? tnkkek t ??? ????? ?? )!1( )(1tnkkekt ??? ????? )!( )(tnen t ??? ???? )!1()( 1 tnkkek t ??? ?????? ??11)!1()(tnkkekt ??? ????? )!( )()!1()( 1????nte nt ?? ?首頁(yè) 三 、 維納過(guò)程 1．定義 則稱 或布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程 如果隨機(jī)過(guò)程 { )( tX ， ),0[ ???? Tt } 滿足（ 1 ） 0)0( ?X（ 2 ） )( tX 是齊次的獨(dú)立增量過(guò)程（ 3 ）對(duì)于每一個(gè) 0?t ，有 )( tX ? ),0( 2 tN ? 隨機(jī)過(guò)程 )( tX 為維納過(guò)程當(dāng) 1?? 時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)維納過(guò)程 特別 首頁(yè) 2． 均值 、 方差 、 協(xié)方差及相關(guān)函數(shù) 均值 協(xié)方差及相關(guān)函數(shù) 證 0)]([ ?tXE方差 ttXD 2)]([ ?? ),( 21 ttK ),( 21 ttR? ),m i n ( 212 tt??由定義可得 均值、方差公式 首頁(yè) 下證 ),( 21 ttK ),( 21 ttR? ),m i n ( 212 tt??當(dāng) 21 tt ? 時(shí))]()([),( 2121 tXtXEttR ?)[({ 1tXE? )()( 12 tXtX ? ]+ )( 12 tX })]([ 12 tXE? )]0()({[ 1 XtXE ?? [ )()( 12 tXtX ? ]})]([ 1tXD? 12 t??同理 當(dāng) 12 tt ? 時(shí) ),(21 ttR 22 t?? 故 ),m i n (),( 21221 ttttR ??顯然 ),(21 ttK ),( 21 ttR?首頁(yè) 3． 對(duì)任意 nttt , 21 ? ， ???? 210 tt ???? nt維納過(guò)程 )( tX 有)()( 1?? ii tXtX ? ))(,0( 12 ?? ii ttN ? ， ni ,2,1 ??證 由于增量 )()( 1?? ii tXtX ， ni ,2,1 ??是相互獨(dú)立的正態(tài)變量。 所以 )]()([ 1?? ii tXtXE0)]([)]([ 1 ??? ?ii tXEtXE首頁(yè) )]()([ 1?? ii tXtXD })]()({[ 21??? ii tXtXE)]()()(2)([ 1212 ?? ??? iiii tXtXtXtXE)]([)]()([2)]([ 1212 ?? ??? iiii tXEtXtXEtXEit2?? 122 ?? it? 12 ?? it?ii tt ??1)( 12 ??? ii tt?首頁(yè) 4． 具有馬氏性 證 因此 所以 因 )( tX 是維納過(guò)程增量 )()( sXstX ?? 與時(shí)刻 s 以前的狀態(tài))( ?X ( s?? ?0 ) 獨(dú)立，xsXastXP ??? )(|)({ ， )( ?X ， s?? ?0 }xsXxasXstXP ?????? )(|)()({ ， )( ?X ，s?? ?0 }xsXxasXstXP ?????? )(|)()({ }xsXastXP ???? )(|)({ }所以維納過(guò)程是馬氏過(guò)程。 首頁(yè) 例 4 試求 的協(xié)方差函數(shù)。 且 解 設(shè) { )( tW ， 0?t } 是一個(gè)維納過(guò)程，0)0( ?W )()( tWltW ?? （ 0?l 常數(shù)）?),( 21 ttK ))()([( 11 tWltWE ?? ) ) ]()(( 22 tWltW ??)]()([ tWltWE ???)]()([ 21 ltWtWE ??)]()([ 21 tWltWE ?? )]()([21 tWtWE?),m i n ( 212 ltlt ??? ? ),m i n ( 212 ltt ?? ?),m i n ( 212 tlt ?? ? ),m i n ( 212 tt??)(tm 0?)]()([ 21 ltWltWE ???首頁(yè) 當(dāng) 21 tt ? 時(shí)，可得 ?),( 21 ttK?????????1221212),(,0ttltltttl?當(dāng) 21 tt ? ，可得?),( 21 ttK?????????2112221),(,0ttltltttl?所以 ?),( 21 ttK?????????||| ) ,|(||,02121221ttlttlttl?首頁(yè) 四 、 正態(tài)過(guò)程 1．定義 為 n維正態(tài)分布 ， 其密度函數(shù)為 也稱高斯過(guò)程 則稱 設(shè) { )( tX , Rt ? } 是一隨機(jī)過(guò)程，對(duì)任意正整數(shù) n 及 Rttt n ?, 21 ? ，隨機(jī)變量 )( 1tX , )( 2tX ,? , )( ntX 的聯(lián)合分布函數(shù)),,( 2121 nn xxxtttf ?? ；)}()(21e xp {||)2( 1 12/12/ mxKmxKn ????? ??)( tX 為正態(tài)過(guò)程 首頁(yè) 其中 ???????????????nxxxx?21???????????????)()()(21ntmtmtmm????????????????),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111nnnnnnttKttKttKttKttKttKttKttKttKK???????且 )]([)( ii tXEtm ?)]}()()][()({[),( jjiiji tmtXtmtXEttK ??? ),( ij ttK?K為協(xié)方差矩陣 1?K 是 K 的逆矩陣)( ?? mx 表示 )( mx ? 的轉(zhuǎn)置矩陣首頁(yè) 注 2． 維納過(guò)程是正態(tài)過(guò)程 由正態(tài)過(guò)程的 n維概率密度表達(dá)式知 ， 正態(tài)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性 ， 由它的均值函數(shù) 及自協(xié)方差函數(shù) 完全確定 。 由維納過(guò)程定義知 )(tm),( 21 ttK設(shè) { )( tX , 0?t } 是一維納過(guò)程，0)0( ?X對(duì)任意 nttt ??? ?21 ，)( 1tX（ , ?)( 2tX )( 1tX ,? , ）)()( 1?? nn tXtX服從 n維正態(tài)分布 首頁(yè) 故知 )( 1tX（ , )( 2tX ,? , ）)( ntX)( 1tX（? , ?)( 2tX )( 1tX ,? , ）)()( 1?? nn tXtX?????????????100110111???????)( 1tX（ , )( 2tX ,? , ）)( ntX 服從 n 維正態(tài)分布，所以 )( tX為正態(tài)過(guò)程又因 首頁(yè) 例 5 證 可得 設(shè) { )( tX , Rt ? } 是一個(gè)獨(dú)立的正態(tài)過(guò)程，則其協(xié)方差函數(shù) 0),( 21 ?ttK （ 21 tt ? ）。若 21 tt ? ，)( 1tX 與 )( 2tX 相互獨(dú)立，)()()]()([),( 212121 tmtmtXtXEttK ??0)()()()( 2121 ??? tmtmtEXtEX注 逆命題也成立 返回 首頁(yè) 第三章 馬爾可夫過(guò)程 第一節(jié) 馬爾可夫鏈的定義及其性質(zhì) 第二節(jié) 馬爾可夫鏈的狀態(tài)分類 第三節(jié) 平穩(wěn)分布與遍歷性 第四節(jié) 時(shí)間連續(xù)的馬爾可夫鏈 習(xí)題課 第一節(jié) 馬爾可夫鏈的定義及其性質(zhì) 一、馬爾可夫鏈的定義 1．馬爾可夫鏈 設(shè)隨機(jī)過(guò)程 { )( tX , Tt ? } ，其中時(shí)間 T = { 0 , 1 ,? } ，狀態(tài)空間 I = { 0 , 1 , 2 ,? } ，若對(duì)任一時(shí)刻 n ，以及任意狀態(tài) jiiii n ,, 110 ?? ，有,)1(,)(|)1({ 1?????? ninXinXjnXP })0(,)1(, 01 iXiX ???})(|)1({ inXjnXP ????則稱 { )( tX , Tt ? } 為一個(gè)馬爾可夫鏈 （或馬氏鏈）簡(jiǎn)記為 { nX , 0?n }首頁(yè) 注 : 而與以前的狀態(tài) 表明 )( tX 在時(shí)刻 n +1 的狀態(tài) jnX ?? )1( 的概率分布只與時(shí)刻 n 的狀態(tài) inX ?)( 有關(guān)，1)1( ??? ninX ，?， 0)0( iX ? 無(wú)關(guān)。有限馬氏鏈 狀態(tài)空間是有限集 I={0,1,2,… ， k} 2．一步轉(zhuǎn)移概率 馬氏鏈在時(shí)刻 n處于狀態(tài) i 的條件下，到時(shí)刻 n+1轉(zhuǎn)移到狀態(tài) j 的條件概率， 即 }|{1 iXjXP nn ???稱為在時(shí)刻 n的一步轉(zhuǎn)移概率， 記作 )( np ij首頁(yè) 注 : 由于概率是非負(fù)的，且過(guò)程從一狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)過(guò)一步轉(zhuǎn)移后，必到達(dá)狀態(tài)空間中的某個(gè)狀態(tài) 一步轉(zhuǎn)移概率滿足 3．一步轉(zhuǎn)移矩陣 稱為在時(shí)刻 n的一步轉(zhuǎn)移矩陣 （ 1 ） 0)( ?np ij , Iji ?,（ 2 ） 1)( ???np ijIj, Ii ?如果固定時(shí)刻 Tn ?則由一步轉(zhuǎn)移概率為元素構(gòu)成的矩陣 1P ：首頁(yè) 即有 有限馬氏鏈 狀態(tài)空間 I={0， 1， 2， … ， k} ??????????????????????????)()()()()()(10111001001npnpnpnpnpnpPnn?????????????)()()()()()()()()(1011110001001npnpnpnpnpnpnpnpnpPkkkkkk???????首頁(yè) 4．齊次馬氏鏈 即 則稱此馬氏鏈為齊次馬氏鏈（即關(guān)于時(shí)間為齊次） 如果馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率 )( np ij 與 n 無(wú)關(guān)，ijnn piXjXP ???? }|{ 15．初始分布 設(shè) }{)(00 iXPip ?? ， Ii ? ，如果對(duì)一切 Ii ? 都有0)(0 ?ip 1)(0 ???ipIi稱 )(0