隨機(jī)過(guò)程及應(yīng)用：預(yù)備知識(shí)：特征函數(shù)(編輯修改稿)
2025-09-03 11:15 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ?)()0(φ )( kkk XEj?)0(φ)( )( kkk jXE ??22212 )()(φ tj a tetjat ?? ????? ? 2221222 )()(φ tj a tetjat ??? ??????2222)()0(φ,)0(φ ?? ????????? ajaja特征函數(shù) 故 ajXE ??? ? )0(φ)( 1? ? 222222 )()()()( ?? ?????? aaXEXEXD同理 ， 可進(jìn)一步計(jì)算隨機(jī)變量 X的 k階中心矩 ? ??????????為偶數(shù)為奇數(shù)kkkaXE kk,)1(531 ,0)(??特征函數(shù) 三．反演公式及惟一性定理 由隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)可惟一確定其特征函數(shù)： )(φ)( txF ?問(wèn)題 能否由 X的特征函數(shù)唯一確定其分布函數(shù)？ )()(φ xFt ?)()(φ xFt ?？ 從而 特征函數(shù) 定理 （ 反演公式 ） 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)和特征函數(shù)分別為 F(x)和 ,)(t?.)(φ2 π1lim)()( 2112 dttjteexFxF TTjtxjtxT ????????? 則對(duì) F(x)的任意連續(xù)點(diǎn) x1, x2,（ x1x2） ,有 推論 1(惟一性定理 )分布函數(shù) F1(x)和 F2(x)恒等的充要條件是它們的特征函數(shù) 和 恒等 .(參見(jiàn) P245） )(1 t? )(2 t?特征函數(shù) 推論 2 若隨機(jī)變量 X的特征函數(shù) 在 R上絕對(duì)可積 ， 則 X為連續(xù)型隨機(jī)變量 ， 其概率密度為 )(t?? ???? ?? dttexf jtx )(φ2 π1)(反演公式 注 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量 X，概率密度與特征函數(shù)互為富氏變換 . ? ????? dxxfet jtx )()(φ因特征函數(shù) ? ? ?,0, ????? kkXPp k則 推論 3 隨機(jī)變量 X 是離散型的 ,其分布律為 ???????kj k tk Rtept .,)(φ?? ??ππ)(φ2 π1 dttep tkjk反演公式 ,Ns?證 設(shè) 有 ? ? ??? ??????? ?ππππ)(φekjtsj k tktsj dteepdtt特征函數(shù) ? ? ????????? ???? ππππ)( 02eskksskjtks pdtpdtp ??? ???ππ.)(φ2 π1 dttep jtss.0eπ π )(?? ? ?? dtsk skjt時(shí)其中當(dāng) 隨機(jī)變量 X在 [ ]上服從均勻分布 , Y=cosX, 利用特征函數(shù)求 Y的概率密度 . ,2π? 2π特征函數(shù) 解 X的概率密度為 ????? ???.0,]2π,2π[,π1)(其它xxfY的特征函數(shù)為 )()()( c o s XjtjtYY eEeEt ????? ?? ? 2π2π2π 0c o s
化學(xué)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1