隨機(jī)過(guò)程與數(shù)學(xué)建模(編輯修改稿)
2025-02-04 12:29 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 j????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????協(xié)方差函數(shù) C(s,t)=λ min(s,t) 相關(guān)函數(shù) R(s,t)=λ min(s,t)+λ2st 泊松過(guò)程的性質(zhì) 性質(zhì) 1 泊松過(guò)程是平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程； 性質(zhì) 2 泊松過(guò)程是馬爾可夫過(guò)程； 性質(zhì) 3 泊松過(guò)程是生滅過(guò)程； 性質(zhì) 4 泊松過(guò)程是均方連續(xù)、均方不可導(dǎo)、均方可積的二階矩 過(guò)程； 性質(zhì) 5 泊松過(guò)程是非平穩(wěn)過(guò)程，但為平穩(wěn)增量過(guò)程； N(t)表示 [0,t)內(nèi)出現(xiàn)的事件次數(shù)，用 τ 1,τ 2,…, τ n分別表示 第一、二、 … 、 n次 事件 發(fā)生的時(shí)間，稱 τk為事件第 k次出現(xiàn)的 時(shí)間，又叫 事件點(diǎn) ； Tk表示從第 k1次事件發(fā)生到第 k次事件的 等待時(shí)間 ，又稱為 點(diǎn)間間距 。 Tk= τk τk1,k=1,2, …n, τ0=0 τk =T1+T2+…+T k,k=1,2,…,n 證： {T1t}表示第一次事件在 t之后出現(xiàn)，于是 {N(t)=0}，反之 也是，那么 {T1t}= {N(t)=0}， 進(jìn)而 P{T1t}=P{N(t)=0} 。 性質(zhì) 6 設(shè) {N(t),t≧ 0}為參數(shù)為 λ 的 泊松過(guò)程， {Tn,n=1,2,… }為點(diǎn) 間間距序列，則 Tn,n=1,2,...是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都服 從參數(shù)為 λ的指數(shù)分布。 所以 FT1(t)=1 P{N(t)=0}=1eλ t,t0 ,又顯然有 FT1(t)=0,t≦ 0, 于是 T1服從參數(shù)為 λ 的指數(shù)分布。 P{T2t∣ T1=s1}=P{在 (s1,s1+t)內(nèi)沒(méi)有事件出現(xiàn) ∣ T1=s1} =P{N(s1+t)N(s1)=0}=P{N(t)=0}=eλt 同樣得到 T2服從指數(shù)分布，由增量的獨(dú)立性知 T1與 T2獨(dú)立。 再?gòu)臄?shù)學(xué)歸納法得證。 λ的含義是強(qiáng)度，比如單位時(shí)間里進(jìn)入超市的平均人數(shù)，從而 1/ λ的含義應(yīng)該是單位人數(shù)的時(shí)間，即每人的平均間隔時(shí)間。 幾何分布是離散型的無(wú)記憶型分布。 伯努利實(shí)驗(yàn)場(chǎng)合首次成功出現(xiàn)所在的次數(shù)服從幾何分布。 P{η=k}=qk1p,k=1,2,… 無(wú)記憶性就是需證 :P{η=m+k∣ ηm}=P{η=k}. P { = m + k } P { = m + k }{ m } { m } mmP P q? ? ????? m+k1 k1， pq左 = = = p q = 右證： 指數(shù)分布是連續(xù)型的無(wú)記憶型分布 無(wú)記憶性就是需證 :P{ξs+t∣ ξs}=P{ξt}. 證： P{ s + t } P{ s + t}{ s } { s } ssP P e???? ? ??? ??? ( s + t ) t， e左 = = = e = 右兩種無(wú)記憶分布常被用來(lái)描述無(wú)磨損性的壽命。 比如酒店使用的玻璃杯，用次數(shù)記錄的壽命。 比如窗戶上面安裝的玻璃，用時(shí)間長(zhǎng)度記錄的壽命。 性質(zhì) 7 設(shè) {N(t),t≧ 0}為參數(shù)為 λ 的 泊松過(guò)程， {τ n,n=1,2,… }為事 件點(diǎn)序列，則 τ n～ Г (n,λ ),即概率密度為 1 ,0() ()0 , 0nntt e tft nt?? ??? ?????? ??證 :從 {τ n≦t}={N(t) ≧n} 知， τ n的分布函數(shù) 139。1()( ) { } { ( ) } , 0!( ) ( )( ) ( )( 1 ) ! ! ( 1 ) !ktnknk k nt t n tk n k ntF t P t P N t n e tkttf t F t e e t ek k n?? ? ???? ? ?????????? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ??????當(dāng) t0 時(shí) ， f(t)=0此性質(zhì)也可用隨機(jī)變量的再生性來(lái)證明： Tn,n=1,2,...是相互 獨(dú)立且都服從參數(shù)為 λ 的同指數(shù)分布的隨機(jī)變量，指數(shù)分布即 是 Г (1,λ ),而 Г分布在
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