[工學(xué)]隨機(jī)過(guò)程預(yù)備知識(shí)(編輯修改稿)
2025-01-04 00:06 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 l k l k lk l k lg t t z z e d F x z z?? ???? ? ? ????? ????? ? ? ? ?證? ? ? ?11klnn i t t xklkle z z d F x?? ???????? ??????? ? ?11klnnit x it xklkle z e z d F x??????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ????? ?210kn it x kke z d F x????????? 證 畢 特征函數(shù)、母函數(shù) ? ? ? ?4 , , ibtYXa b Y a X b g t e g a t? ? ?性 質(zhì) 設(shè) 為 常 數(shù) ， 則? ? ? ? ? ?it a X bit Y ib t ia tX ib tYXg t E e E e e E e g a t?? ? ? ?證 證 畢? ? ? ? ? ? ? ?? ?1212125 , , ,1 , 2 , , .nnniiX X XX X Xg t g t g t g tg t X i n? ? ???性 質(zhì) 若 是 相 互 獨(dú) 立 的 隨 機(jī) 變 量 ， 則X= 的 特 征 函 數(shù) 為其 中 是 隨 機(jī) 變 量 的 特 征 函 數(shù) ，112, , , nX X X2ni t X i t X i t X證 因 為 是 相 互 獨(dú) 立 ,所 以 e ， e ， ,e 也 相 互 獨(dú) 立? ? ? ? ? ?12 1n nit X X X itXitXitXg t E e E e E e e? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?1 12nitXitX nE e E e g t g t g t?? 。證 畢 特征函數(shù)、母函數(shù) ? ? ? ? ? ?60 kkX n nk n i E X?? k性 質(zhì) 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 的 階 矩 存 在 ， 則 它 的 特 征 函 數(shù) 次 可 導(dǎo) ，且 當(dāng) 時(shí) ， 有 g? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?,0 , 0itxkkitx k k itxkkitxkkitxkkk k itxkkkX e dF xde i x e xdtdt e dF xdtde dF xdtdi x e dF xdtt i E X????????????????????????????kk證 的 特 征 函 數(shù) gt 由 于于 是 可 進(jìn) 行 積 分 號(hào) 下 求 導(dǎo) ：g令 即 得 ： g證 畢? ?? ?? ?22200EX gEX gDX EX EX?????????注 ： 由 特 征 函 數(shù) 求 隨 機(jī) 變量 的 數(shù) 字 特 征 特征函數(shù)、母函數(shù) 由 特 征 函 數(shù) 的 定 義 可 知 ， 分 布 函 數(shù) 可 唯 一 確 定 其 特 征 函 數(shù) ，下 面 討 論 其 逆 問(wèn) 題 ， 特 征 函 數(shù) 唯 一 地 確 定 分 布 函 數(shù) 。? ? ? ?? ?12,F x g tx x F x設(shè) 分 布 函 數(shù) 的 特（ 逆 轉(zhuǎn) 公 式 或 反 演 公性 質(zhì) 7 征 函 數(shù) 為是 的 連式 ）續(xù) 點(diǎn) ， 則證 明 略? ? ? ? ? ?1221 1l im 2 i t x i t xT TT eeF x F x g t d tit? ????? ??? ? 特征函數(shù)、母函數(shù) ? ?? ?8XX F xgu性 質(zhì) （ 唯 一 性 定 理 ） 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 函 數(shù) 與 特 征 函 數(shù)是 一 一 對(duì) 應(yīng) 且 相 互 唯 一 確 定 的 。? ?Xt X如 果 隨 機(jī) 變 量 為 連 續(xù) 型 ， 且 特 征 函 數(shù) g 絕 對(duì) 可 積 ， 則 有 反 演 公 式? ? ? ?12 itxXXf x e g t d t? ?? ???? ?? ? ? ?? ? ? ?XXXXg t f xf x g t由 此 可 知 ， 特 征 函 數(shù) 是 其 密 度 函 數(shù) 的 相 差 一 個(gè) 負(fù) 號(hào)的 傅 氏 變 換 ； 而 密 度 函 數(shù) 為 的 相 差 一 個(gè) 負(fù) 號(hào) 傅 氏 反 變 換? ? ? ?? ? ? ?12itxXXitxXXg t e f x d xf x e g t d t??????? ???? ???? ???? 特征函數(shù)、母函數(shù) ? ?? ? ? ?901B o c h n e r K h in c h in e g tg t g??性 質(zhì) （ 定 理 ） 函 數(shù) 是 特 征 函 數(shù) 的充 要 條 件 是 ： 非 負(fù) 定 、 連 續(xù) 且? ?? ? ? ?? ? ? ?01itxgtg F xe dF x?????? ?據(jù) 此 定 理 和 唯 一 性 定 理 可 知 ， 如 果 是 非 負(fù) 定 、連 續(xù) 且 的 函 數(shù) ， 那 么 必 存 在 一 個(gè) 分 布 函 數(shù)（ 單 調(diào) 不 減 、 有 界 、 右 連 續(xù) ） ， 使 得gt成 立 。 特征函數(shù)、母函數(shù) ? ? ? ? 21 .2 , , , , .X B n p X g t E X E X D X例 設(shè) 服 從 求 的 特 征 函 數(shù) 及? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?0222 2 2022200nittnittdE X ig i pe q npdtdE X i g i pe q npq n pdtD X E X E X npq???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?
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