【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 =4， s=3， t =2。 需檢驗(yàn)假設(shè) H01, H02, H03, (見(jiàn) () ～ () )。首先計(jì)算 T… , Tij ., Ti.., .，表中括號(hào)內(nèi)的數(shù)是 Tij. 。然后按 ()式計(jì)算下列各式： ,29833263824 )(2222 .ST ?????? ?,6750026124 )(6122222 .SA ??????,9 8 0 8 33 7 024 3 1 9) 9 5 6 8(812222 .SB ?????,6 9 2 5 01 7 6 824 3 1 9) 1 0(21 2222 .SSS BABA????????? ?.????? ? BABATE SSSSS得方差分析表如下： 由于 F3,12 ()=FA, F2,12 ()=FB，所以，在水平 α = ，拒絕原假設(shè) H01與 H02，即認(rèn)為不同燃料或不同推進(jìn)器下的射程有顯著差異。也就是說(shuō)，燃料和推進(jìn)器這兩個(gè)因素對(duì)射程的影響都是顯著的。 又 ,F6,12()= FA B 。故拒絕 H03。值得注意的是 , F6,12 ()= 也遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于 FA B =，故交互作用的效應(yīng)是高度顯著的。從表 ， A4與B1或 A3與 B2的搭配都使火箭射程較之其他水平的搭配要遠(yuǎn)得多。實(shí)際中 , 我們選最優(yōu)的搭配方式來(lái)實(shí)施。 例 2： 在某種金屬材料生產(chǎn)過(guò)程中，對(duì)熱處理溫度 (因素B)與時(shí)間 (因素 A)各取兩個(gè)水平，產(chǎn)品強(qiáng)度的測(cè)定結(jié)果(相對(duì)值 )如表 。在同一條件下每個(gè)實(shí)驗(yàn)重復(fù)兩次。設(shè)各水平搭配下強(qiáng)度的總體服從正態(tài)分布且方差相同。各樣本獨(dú)立。問(wèn)熱處理溫度、時(shí)間以及這兩者的交互作用對(duì)產(chǎn)品強(qiáng)度是否有顯著的影響 (取 α =)? 解： 按題意需檢驗(yàn)假設(shè) () ～ ()，作計(jì)算如下 . . 4 4 8 4 5 5 152118)(416218)(418)(2222222222??????????????????????????BABAEBABATSSSS，.S，.S，.SS7 7 ，?得方差分析表如表 . 由于 F1,4()=，所以認(rèn)為時(shí)間對(duì)強(qiáng)度的影響不顯著 , 而溫度的影響顯著 , 交互作用的影響也顯著。 雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)的方差分析 在以上討論中，我們考慮了雙因素試驗(yàn)中兩個(gè)因素間的交互作用。為檢驗(yàn)交互作用的效應(yīng)是否顯著。對(duì)兩因素的每一組合 (Ai, Bj)至少要做 2次試驗(yàn)。 這是因?yàn)樵谀Ｐ?()中，若 k=1， γ ij+εij 總以結(jié)合在一起的形式出現(xiàn)，這樣就不能將交互作用與誤差分離出來(lái)。如果在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，我們知道不存在交互作用，或已知交互作用對(duì)試驗(yàn)的指標(biāo)影響很小 ,就可以不考慮交互作用。此時(shí)，即使 k =1，也能對(duì)因素 A、 B的效應(yīng)進(jìn)行分析。 現(xiàn)設(shè)對(duì)兩個(gè)因素的每一組合 (Ai, Bj)只做一次試驗(yàn)，所得結(jié)果如下。 .,21,21 )( 2 sjriXσμN(yùn)X ijijij ?? ，，，， ?? 相互獨(dú)立各 ~ 并 設(shè)2 . 2 3 ) 獨(dú)立. 且各 , ~ （，，，，?????????ijijijijijεσNεsjriεμX)0(,21,212??或?qū)懗? 沿用 ，注意到現(xiàn)在假設(shè)“不存在 交互作用”。此時(shí)， γij=0， i=1, 2, ? , r， j =1, 2,? ,s。故，由 ()式知 , ()式可寫成 ( 2. 24 ) , 獨(dú)立各~ ?????????????????????sjjriiijijijjiijβαsjriεσNεεβαμX112.0021,21),0(,，，，，??這就是現(xiàn)在要研究的方差分析模型。 jiij ???? ???對(duì)這個(gè)模型，所要檢驗(yàn)的假設(shè)有如下兩個(gè)： ( 2. 26 ) .( 2. 25 ) 2??? ??????? ????零：：零；：：不全 為,0不全 為,0211221021112101ssrrβββHβββHαααHαααH????與在 ，得方差分析表。 2).(0).(0)1)(1(,1210)1)(1(,12101αFSSFβββHαFSSFαααHαsrsEBBssrrEAAr??????????????????的拒絕域?yàn)椋杭僭O(shè)的拒絕域?yàn)椋?，得假設(shè)取顯著水平為??表 ： ( ) ??????????????????????? ?????????? ???，，BATEsjjBriiArisjijTSSSSrsTTrSrsTTsSrsTXS1221221 12211其中 .,2,1,2,1,111 1sjriXTXTXTriijjsjijirisjij ?? ????? ??? ?????? ??? ，， 例 3: 下面給出了在某 5個(gè)不同地點(diǎn)、不同時(shí)間空氣中的顆粒狀物 (以 mg/m3計(jì) )的含量的數(shù)據(jù)： 設(shè)本題符合模型 ()式中的條件。試在水平 α =： 1).在不同時(shí)間下顆粒狀物含量的均值有無(wú)顯著差異； 2).在不同地點(diǎn)下 顆粒狀物含量的均值有無(wú)顯著差異。 解 : 按題意需檢驗(yàn)假設(shè) (), ()。 ， 的值已算出載于上表?，F(xiàn)在 r=4， s=5。由 ()得到： ?iT jT?. 827535 71, 472012 75)202251289(41, 822012 75278290376331517535 712012 753767762222222222222??????????????????????.SSS,. SEBAT??)(方差分析表如下： 由于 F3,12()=,， F4,12()=，得： 拒絕 H01及 H02， 即，認(rèn)為不同時(shí)間下顆粒狀物含量的均值有顯著差異；也認(rèn)為不同地點(diǎn)下顆粒狀物含量的均值有顯著差異。 即，認(rèn)為時(shí)間和地點(diǎn)對(duì)顆粒物的含量影響均為顯著。 167。 一元線性回歸 本節(jié)內(nèi)容提綱 ● 一元線性回歸的概念和數(shù)學(xué)模型 ● a、 b 的估計(jì) ● ζ2的估計(jì) ● 線性假設(shè)的顯著性檢驗(yàn) ● 系數(shù) b 的置信區(qū)間 ● 回歸函數(shù) μ (x)=a+bx 的點(diǎn)估計(jì)和置信區(qū)間 ● Y 的觀測(cè)值的點(diǎn)預(yù)測(cè)和預(yù)測(cè)區(qū)間 客觀世界中變量之間的關(guān)系包括： ● 確定性關(guān)系： 變量之間的關(guān)系能用函數(shù)來(lái)表達(dá)； ● 非確定性關(guān)系： 相關(guān)關(guān)系。 回歸分析是研究相關(guān)關(guān)系的數(shù)學(xué)工具。可幫助 人們從一個(gè)變量的取值去估計(jì)另一個(gè)變量的值。 一元線性回歸 設(shè)隨機(jī)變量 Y (因變量 )與 x (自變量 )之間有某種 相關(guān)關(guān)系，且對(duì)每個(gè)固定的 x, Y 都有確定的分布。 如： 身高 x =165cm 的成年男性的體重 Y 是一個(gè)隨機(jī)變量 , 有其分布 。 某路口上午 6:30 ~ 7:30的車流量 Y是一個(gè)隨機(jī)變量，也有它的分布。 ● 預(yù)測(cè)問(wèn)題： 在給定的置信度下，估計(jì)出 x 取某一定 值 x0時(shí)，隨機(jī)變量 Y 的取值情況； ● 控制問(wèn)題： 在給定的置信度下，控制 自變量 x 的取 值范圍，使 Y 在給定的范圍內(nèi)取值。 若 Y 的數(shù)學(xué)期望存在，且為 x 的函數(shù)，記為 μ (x),則稱 μ (x)為 Y 關(guān)于 x 的 回歸函數(shù) ，簡(jiǎn)稱 回歸 。 若 μ (x)為 x 的線性函數(shù)，就稱 μ (x) 為線性回歸 。若 μ (x) 為 x 的多項(xiàng)式，就稱 μ (x) 為多項(xiàng)式回歸 , ? 。 回歸分析的任務(wù)是：根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，估計(jì) μ (x) 的形式 , 并將其用于預(yù)測(cè)或控制問(wèn)題 , 或兩者兼有。 對(duì)于 x， 取一組不完全相同的值 x1, x2, ? , xn， 設(shè) Y1, Y2, ? , Yn 分別 為 x 在 x1, x2, ? , xn 處的觀測(cè)結(jié) 果，稱 (x1, Y1), (x2, Y2), ? , (xn , Yn ) 為 一個(gè)樣本。 相應(yīng)的取值為 樣本值， 記成： (x1, y1 ), (x2, y2), … , (xn , yn )． () 從散點(diǎn)圖可 粗略地看出 μ (x) 的形式。 我們要解決的問(wèn)題是：如何利用樣本值 ()來(lái)估計(jì) Ｙ 關(guān)于 x 的 回歸函數(shù) μ (x)。為此，首先要推測(cè) μ (x)的形式。在一些實(shí)際問(wèn)題中，可根據(jù)專業(yè)知識(shí)，了解 μ (x)的形式。否則，要將每對(duì)觀測(cè)值 (xｉ , yｉ )點(diǎn)繪在平面直角坐標(biāo)系中， 得到 Ｙ 與 x 關(guān)系的散點(diǎn)圖。 從散點(diǎn)圖可看出： μ (x) 近似為 x 的線性函數(shù)， 即近似地有 μ (x) = a+bx。此時(shí)估計(jì) μ (x) 的問(wèn)題稱為一元線性回歸問(wèn)題。 例 1： 為研究某一化學(xué)反應(yīng)過(guò)程中溫度 x (單位 : C 176。 )對(duì)產(chǎn)品得率 Y (%) 的影響，測(cè)得數(shù)據(jù)如表： 對(duì)于某個(gè)區(qū)間內(nèi)固定的 x，設(shè) Y ~ N(a+b x, σ 2), 其中 a, b 和 σ2是未知的，但都不依賴于 x 的參數(shù)。 記 ε = Y(a+b x)，則 Y= a+b x +ε, ε ~ N(0, σ2 ) . () 稱上式為 一元線性回歸模型， b 為回歸系數(shù)。 () 式表明：因變量 Y 由兩部分組成：一部分是 x 的線性函數(shù) μ (x)= a+bx，稱為 x 的線性回歸函數(shù) 。一部分是 ε ~ N(0, σ2 )，稱為隨機(jī)誤差 。 a、 b的估計(jì) ( ) )(e xp)( )(e xp ),。,(.bxaybxaybayyyLLniii/niinin?????????????????????????????????122222212212122121? 取 n 個(gè)不全相同的 x1,x2,?, xn作獨(dú)立試驗(yàn)，得樣本 (x1, Y1)， (x2, Y2),?,( xn, Yn ), 由 ()式， Yi= a+bxi + εi , εi ~N(0, σ2)；各 εi獨(dú)立 . () 于是， Yi ~N(a+bxi , σ2), i=1, 2, ? , n。 Y1,Y2,? ,Yn的聯(lián)合概率密度為 利用極大似然估計(jì)法估計(jì)未知參數(shù) a 和 b。 ( 3. 5) )()( 記 ，?????niii bxayb,aQ12 于是， “求 L的最大值” 問(wèn)題就變成了 “求 Q的最小值” 問(wèn)題 (問(wèn)題變簡(jiǎn)單了！ )。 取最小值。取極大值的必要條件是容易看出： QL ( 3. 6 ) ?????????????????????????.x)bxay(bQ)bxay(aQniiiiniii02