隨機過程基礎資產(chǎn)價格的變動(編輯修改稿)
2024-10-04 21:55 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 掌握的信息，且趨勢變動和標準變動與 是成正比的。 tttt dWSdtSdS ?? ??tS變形 ttt dWdtSdS ?? ??即說明主項與擴展項對于 的相對變動仍是一個不變的常數(shù)。 tS幾何模型描述的是資產(chǎn)價格價格在一種指數(shù)趨勢上的隨機波動 。 對大多數(shù)資產(chǎn)價格來說 ， 這種指數(shù)趨勢似乎更符合實際 。 首頁 三、平方根過程 形式為： 遵循指數(shù)變動趨勢，但標準差則是 的平方根的函數(shù)。 tStttt dWSdtSdS ?? ??tS方差 2 121 )( ?? ?? kkk SSSVa r ?即方差與 成正比的。在實際情況中，這會增大了相對于 的變動。 2tStS誤差項的方差與 是成比例的。因此，若 隨的增大，資產(chǎn)價格的變動率不是迅速增加，運用此模型更為合適。 方差 121 )( ?? ?? kkk SSSVa r ?tS tS首頁 四、均值調(diào)整過程 形式為： tttt dWSdtSdS ??? ??? )(若 比均值 小，則 ，這就使得 傾向于為正數(shù)，故 最終回復到均值 。 tS說明 tttt dWSdtSdS ??? ??? )(? 0?? tS?tdStS ?均值調(diào)整過程有一變動主趨勢 ， 但此趨勢的偏差不是完全隨機的 。 過程 可與長期趨勢發(fā)生較小的偏離 ，但最終會回復到正常趨勢 ， 這種偏離的平均度是由參數(shù) 來控制的 ， 但參數(shù)變小時 ， 偏離的時間會變長 。 這時資產(chǎn)的價格會顯示出一些可預見的周期性 ， 使得模型與市場的有效性假設相違背 。 tS0??首頁 五、奧倫斯坦 —— 烏倫貝克過程 形式為： ttt dWdtSdS ?? ???其中主項與 負相關，系數(shù)為 ；擴展項屬于常參數(shù)類型。屬于均值調(diào)整隨機微分方程的一個特例。 tS說明 ?這個模型表示資產(chǎn)價格在 0附近波動 ， 并且其偏離最終會回到長期的 0均值狀態(tài) ， 參數(shù) 控制這種偏離的時間 ， 越大 ， 回復均值的速度越快 。 tS??首頁 六、隨機波動率 隨機微分方程的主參數(shù)和擴展參數(shù)可通過隨機性獲得 ， 這對于衍生金融產(chǎn)品而言 ， 更具有應用價值 。因為波動率不僅隨時間的變動而變動 ， 而且在給定的價格 下波動也是隨機的 。 如 設資產(chǎn)價格 的隨機微分方程： tStSttt dWdtdS 1?? ?? 的變動遵循隨機微分方程： t?tttt dWdtd 2)( ?????? ???其中維納過程 ， 是相關的 tdW1 tdW2首頁 資產(chǎn)波動率的長期均值為 ， 但在任一時刻 t， 實際的波動率可能會偏離這一長期均值 ， 調(diào)整系數(shù)為 則市場參與者可以根據(jù)這些因素 ， 更好地計算預期的資產(chǎn)價格及預期的價格波動率 。 運用這種漸進的隨機微分方程 ， 我們可獲得愈來愈復雜的模型以反映現(xiàn)實生活中的金融現(xiàn)象 。 ??增量 對變動率有不可預測的沖擊 ， 它與對資產(chǎn)價格 的沖擊是不相關的 。 tdW2tS0?? 也是一個參數(shù)返回 首頁 下面應用伊托定理來推導 變化所遵循的隨機過程。 第四節(jié) 股票價格對數(shù)正態(tài)分布的特性 如果股票價格 S遵循幾何布朗運動，即 定義 Sln由于 SSG 1???SG ln?222 1SSG ????0??? tG所以有伊托公式可得，函數(shù) G 所遵循的過程為 dWdtdG ??? ??? )2(2Sd WSd tdS ?? ??首頁 由于 和 是常數(shù)，所以上式表明 G遵循的是推廣 的維納過程。它具有常數(shù)漂移率 和常數(shù)方差率 。 ? ?從而表明，從時間 t到 T期間， 的變化呈正態(tài)分布特征，其均值為 22?? ?2?Sln))(2(2tT ?? ??方差為 )(2 tT ??若令 S表示現(xiàn)在時間 t的股票價格， 表示在未來某時 T的股票價格，則在時間區(qū)間 中 的變化就是 TStT? SlnSS T lnln ?首頁 即有 ]),)(2[(~2tTtT ??? ????其中 表示均值為 m，標準差為 n的正態(tài)分布。 ),( nm?SS T lnln ?根據(jù)正態(tài)分布的特征，則下式也成立： ]),)(2([ l n~2tTtTS ???? ????TSln這表明 服從正態(tài)分布，其標準差與 成比例，也就是說股票價格對數(shù)變化的不確定性是以標準差來估算的，且與估算的時間長短的平方根成比例。 TSlntT ?首頁 例 6 設有某種股票，其初始價格為 40美元，年預期收益率為 16%，年波動性為 20%。六個月后，該股票價格的概率分布是什么？計算該分布的均值和標準差（ 95%的置信區(qū)間）。 解 在六個月后，股票價格 的隨機分布服從對數(shù)正態(tài)分布，即有 TS],)2/(40[ l n~ ????TSln故 TSln ),(~ ? 由于一個正態(tài)變量，位于均值的標準差為 以內(nèi)的概率為 95%，所以 的置信區(qū)間為 TSln首頁 1 4 5 4 5 ?????? TS故 ?? TS即是說，在六個月之后股票價格在 的概率為 95%。 由于 服從正態(tài)分布，從而 具有對數(shù)正態(tài)分布的特征，因此可以得到 的期望值和方差： T
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