隨機(jī)過(guò)程基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)-資料下載頁(yè)
2025-08-20 21:55本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】測(cè)兩部分，且分解過(guò)程用到在時(shí)刻t的信息集。息集，那么隨機(jī)微分方程的含義不同。即維納過(guò)程與信息集相對(duì)應(yīng)。而其他參與者的隨機(jī)微分方程則是不變。對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格是如何隨時(shí)間而發(fā)生變動(dòng)，過(guò)程與金融市場(chǎng)中的交易者行為是一致的。時(shí)記錄新事件的發(fā)生。這些事件中總會(huì)包含一。也會(huì)被觀測(cè)，此時(shí)這些事件均已成為已知事件，生太大幅度地變動(dòng)。隨機(jī)微分方程所含未知數(shù)是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，的隨機(jī)數(shù)對(duì)于所有的ｋ而言都滿足上面的等式。稱為隨機(jī)微分方程的強(qiáng)解。其中是一維納過(guò)程.都是均值為0，方差等于的維納過(guò)程；密度函數(shù)的表達(dá)式相同。生活中根本不同的兩種現(xiàn)象。格進(jìn)行完全不可預(yù)測(cè)變動(dòng)的極其微小的事件。但需考慮與過(guò)程的相關(guān)聯(lián)。具有相似的統(tǒng)計(jì)特性。品進(jìn)行定價(jià)時(shí)，并不能準(zhǔn)確獲悉過(guò)程的實(shí)際情況，我們能夠運(yùn)用的只有其波動(dòng)率和波動(dòng)趨勢(shì)，因而，在這種情況下給衍生產(chǎn)品定價(jià)，應(yīng)運(yùn)用弱解。微分方程或相應(yīng)的積分方程。
【正文】 sa F a SF a F a F? ? ? ?由于 4 0a ? 5 0a ?25 3 440a a a??滿足 因此它是拋物線型的偏微分方程。 返回 首頁(yè) 第二節(jié) 衍生產(chǎn)品期權(quán)的定價(jià) （補(bǔ)充內(nèi)容） 若 假設(shè) 基礎(chǔ)資產(chǎn)為股票，即股票的價(jià)格變化遵循微分方程 2212s t t s sr S F F S F r F?? ? ?此式即為著名的 d S S d t S d W????則 在第一節(jié)推出的偏微分方程，將變成 布萊克 斯科爾斯方程 一、布萊克 斯科爾斯方程 首頁(yè) 例 1 設(shè)有某種不支付股息的股票的遠(yuǎn)期合約，其價(jià)值 F與股票 S的關(guān)系為： 則價(jià)值 F滿足布萊克 斯科爾斯方程。 解 ()r T tF S K e ????（ K為交割價(jià)格） 因?yàn)? ()r T tF rKedt??? ??1FdS? ?22 0FS? ??2212s t t s sr S F F S F???則有 ()r T tr S r K e ???? rF?即滿足布萊克 斯科爾斯方程。 首頁(yè) 函數(shù) 即為布萊克 斯科爾斯方程的解。 說(shuō)明 ()r T tF S K e ????因此，可用偏微分方程來(lái)求出衍生產(chǎn)品的價(jià)格。 二、定價(jià)公式 在風(fēng)險(xiǎn)中立化條件下，歐式看漲期權(quán)的期望價(jià)值為 布萊克 斯科爾斯微分方程，解決了歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題。 [ m a x( , 0) ]TE S K?其中 表示遠(yuǎn)期合約到期時(shí)間 T時(shí)的股票價(jià)格， K表示交割價(jià)格。 TS首頁(yè) 根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中立化原理，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格 c 就是將此期望值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)后的值，即 () [ m a x ( , 0 ) ]r T tTc e E S K????又在風(fēng)險(xiǎn)中立化條件下， 的概率分布滿足 TS2l n [ l n ( ) ( ) , ]2TS S r T t T t???? ? ? ?利用期望的積分定義，可估算出 c的值為 ()12( ) ( )r T tc S N d K e N d????其中 21l n ( / ) ( / 2 ) ( )S K r T tdTt??? ? ???首頁(yè) 表示變量的期望值 表示期權(quán)被執(zhí)行的概率 N（ X）是均值為 0，標(biāo)準(zhǔn)差為 1的累積正態(tài)分布函數(shù) 22l n ( / ) ( / 2 ) ( )S K r T tdTt??? ? ???1d T t?? ? ?注 價(jià)格 c的公式可改寫為 ( ) ( )12[ ( ) ( ) ]r T t r T tc e S N d e K N d? ? ???其中 2()Nd2()KN d表示期權(quán)協(xié)定價(jià)格與協(xié)定價(jià)格將會(huì)被執(zhí)行的概率的積 ()1() r T tS N d e ?為 TSK?TSK?為 0 TS當(dāng) 首頁(yè) 同樣 歐式看跌期權(quán)的價(jià)格公式為 () 21( ) ( )r T tp K e N d S N d??? ? ? ?說(shuō)明 當(dāng)股票價(jià)格 S變得非常大， 和 都會(huì)隨之增大， 和 都趨于 1，則歐式看漲期權(quán)的價(jià)值 1d 2d1()Nd 2()Nd()r T tc S K e ????當(dāng)股票價(jià)格 S變得非常大， 和 都趨于 0，則看跌期權(quán)的價(jià)值 0。 1()Nd? 2()Nd?首頁(yè) 三、累積正態(tài)分布函數(shù) 利用定價(jià)公式，需要計(jì)算累積正態(tài)分布函數(shù) ()Nx下面給出多項(xiàng)式的近似計(jì)算方法： 231 2 31 ( ) ( ) 0()1 ( ) 0N x a M a M a M xNxN x x?? ? ? ? ??? ? ? ??其中 11M x?? ?0 . 3 3 2 6 7? ? 1 ?2 ?? 3 0. 93 72 98 0a ?221()2xN x e??? ?首頁(yè) 按此公式可以求出累積正態(tài)分布函數(shù) 的值，并且通?？梢跃_到小數(shù)點(diǎn)四位數(shù)，其誤差也總是在。 例 2 ()Nx 假定某種股票期權(quán)的有效期尚剩六個(gè)月，此時(shí)股票價(jià)格為 42美元，股票期權(quán)的協(xié)定價(jià)格是 40美元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是 10%，每年的易變性是 20%。求歐式看漲期權(quán) 和看跌期權(quán)的價(jià)值 。 解 由于 42S ? 40K ? ?? ? 0 .5Tt??因此 1l n d ????首頁(yè) 2l n d ????( ) 0 . 0 54 0 3 8 . 0 4 9r T tK e e? ? ???故歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為 ()12( ) ( )r T tc S N d K e N d????4 2 (0 . 7 6 9 3 ) 3 8 . 0 4 9 (0 . 6 2 7 8 )NN??歐式看跌期權(quán)的價(jià)值為 () 21( ) ( )r T tp K e N d S N d??? ? ? ?3 8 . 0 4 9 ( 0 . 6 2 7 8 ) 4 2 ( 0 . 7 6 9 3 )NN? ? ? ?首頁(yè) 利用多項(xiàng)式近似計(jì)算法，求得 (0 . 7 6 9 3 ) 0 . 7 7 9 1N ?因此 ( 0 . 6 2 7 8 ) 0 . 2 6 5 1N ??(0 . 6 2 7 8 ) 0 . 7 3 4 9N ?( 0 . 7 6 9 3 ) 0 . 2 2 0 9N ??4 .7 6c ? 0 .8 1p ?表示 對(duì)看漲期權(quán)的購(gòu)買者而言，股票價(jià)格必須上漲 。 對(duì)看跌期權(quán)的購(gòu)買者而言，股票價(jià)格必須下跌 。 返回 首頁(yè)
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