隨機過程基礎(chǔ)資產(chǎn)價格的變動(已改無錯字)
2022-10-11 21:55:15 本頁面
【正文】 SlnTSTS)(][ tTT SeSE ?? ?]1[)v a r ( )()(22 2 ?? ?? tTtTT eeSS ??首頁 例 7 假設(shè)某種股票當前的價格為 20美元，每年的預(yù)期收益率為 20%，每年的波動率為 40%，則在一年后股票價格的均值和方差是多少？ 解 一年后股票價格服從正態(tài)分布，其均值為 ][ ?? eSE T)1(400)v ar ( ??? eeS T方差為 首頁 第十章 衍生產(chǎn)品的定價 偏微分方程 (PDE) 第一節(jié) 無風險組合與偏微分方程 第二節(jié) 衍生產(chǎn)品期權(quán)的定價 第一節(jié) 無風險組合與偏微分方程 一、無風險組合 衍生產(chǎn)品是以其它證券為基礎(chǔ)簽訂的合同，此合同有一定的期限，用 T來表示到期日， 則衍生工具的價格 只取決于基礎(chǔ)證券的價值 和時間 T，即有 TFtS()TTF F S T? ，即在到期日 , 能確切的知道函數(shù) 的形式 ()TF S T，首頁 如果知道基礎(chǔ)證券的價值的運動規(guī)律 ， 那么我們就可以用 Ito定理來確定衍生產(chǎn)品的價格的變化 。 這意味 和 都與基礎(chǔ)證券的不確定性，即擾動項 有關(guān)，則這就使得在連續(xù)時間下構(gòu)造無風險組合成為可能。 其中 分別是購買的衍生工具和基礎(chǔ)證券的數(shù)量，其代表組合的權(quán)重。 當其為常數(shù)時 tdStdFtdS tdFtdW假定將 tP 元投資于 )( tSF t ， 和 tS 的組合1 , 2()t t tP F S t S????12,??12t t tdP dF dS????則有 具體方法 首頁 假定基礎(chǔ)資產(chǎn)遵循隨機方程模型 用 Ito定理得到衍生資產(chǎn)價格函數(shù)的偏微分方程 首先，由市場參與者來決定組合的權(quán)重 再連同 和 一起代入 12,??12t t tdP dF dS????則有 ( , ) ( , )t t t td S a S t d t S t d W???212t s t s s t t s t td F F a F F d t F d W????? ? ? ?????tdS tdF若取 1 1? ? 2 sF? ??212()t t s s td P F F d t???上式?jīng)]有擾動項， 完全可預(yù)見，在任意時刻都是一個確定的增量，這也就意味著組合無風險。 tdP表明 首頁 由于無風險 ， 為了避免套利 ， 在相同的時間間隔 里 ，增量 一定等于無風險投資的收益 。 假定無風險收益為常數(shù) r，則 以不支付紅利的情況為例，則 tdP當 不支付紅利時，預(yù)期的資本收益一定等于 tS trPdtdt當 每單位時間支付紅利 時，預(yù)期的資本收益一定等于 tS?trP dt dt??212t t s s tr P d t F d t F d t???即 212t t s s tr P F F ???t s tP F F S??又 故 212t s t t s sr S F F F r F?? ? ?偏微分方程 首頁 由于以 S 作為基礎(chǔ)產(chǎn)品的衍生產(chǎn)品有許多種，因而該方程就有許多不同解。要想解出某種特定的衍生產(chǎn)品，必須用到其邊界條件。即一旦給出 S 和 t 的邊界值，則衍生產(chǎn)品的價值也就隨之確定。 ? ? ? ?,TTF S T G S T?這里 )( ?G 是一個關(guān)于 tS ， T 的已知函數(shù)。邊界條件 衍生產(chǎn)品的到期日是 T，基礎(chǔ)證券的價格與衍生證券的價格之間的關(guān)系在到期日是可明確確定的，即在到期日衍生產(chǎn)品的價格可由下式給出： 又因為 則稱此式為偏微分方程的邊界條件 首頁 如 歐式看漲期權(quán) ，若執(zhí)行價格為 K，則邊界條件為 即表示：若到期時股票價格低于執(zhí)行價格，即 ，則此看漲期權(quán)就不被執(zhí)行，期權(quán)就是無價值的。否則期權(quán)價值等于股票價格與執(zhí)行價格之差。 ? ? ? ?, m a x , 0TTF S T S K??0TSK??當 時 tT?同樣，對歐式看跌期權(quán) ，則邊界條件為 ? ? ? ?, m a x , 0TTF S T K S?? 當 時 tT?首頁 二、偏微分方程的 一般形式 形如 邊界條件為 0 1 2 3 0s t s sa F a SF a F a F? ? ? ?? ? ? ?,TTF S T G S T?即為衍生產(chǎn)品的 偏微分方程的一般形式。 說明 1 為得出衍生工具的無套利價格，需構(gòu)造無風險組合，由此方法導出偏微分方程。另外，邊界條件和偏微分方程都受相關(guān)衍生產(chǎn)品的影響。 其中，一般變量為 S， G（）是一個已知函數(shù)。 首頁 說明 2 這種方法的核心即解一個偏微分方程。即求函數(shù) ，對其 求不同的偏導數(shù) , 代入方程使其成立。同樣，當 ,函數(shù) F一定等于已知函數(shù) G必需滿足的邊界條件。 ()tF S t，tT? 在金融領(lǐng)域中邊界條件代表各種衍生產(chǎn)品的約束條款。從現(xiàn)有的金融產(chǎn)品和問題來看，邊界條件是變化的。最明顯的邊界價值是衍生合同最初和最終的價值。通常，由金融理論得出一些衍生合同的價格是基礎(chǔ)證券到期日價值的函數(shù)，它可作為必須滿足的邊界條件。 首頁 三、二階偏微分方程的類型 對二階偏微分方程： 0 1 2 3 4 5 0t s s s tt s ta a F a F a F a F a F? ? ? ? ? ?若 25 3 440a a a??則稱其為橢圓型偏微分方程 若 25 3 440a a a??則稱其為拋物線型偏微分方程 若 25 3 440a a a??則稱其為雙曲線型偏微分方程 首頁 例 衍生產(chǎn)品的偏微分方程： 0 1 2 3 0s t s
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