隨機(jī)過程基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)(參考版)
2024-09-02 21:55本頁面
【正文】 對(duì)看跌期權(quán)的購買者而言，股票價(jià)格必須下跌 。求歐式看漲期權(quán) 和看跌期權(quán)的價(jià)值 。 1()Nd? 2()Nd?首頁 三、累積正態(tài)分布函數(shù) 利用定價(jià)公式，需要計(jì)算累積正態(tài)分布函數(shù) ()Nx下面給出多項(xiàng)式的近似計(jì)算方法： 231 2 31 ( ) ( ) 0()1 ( ) 0N x a M a M a M xNxN x x?? ? ? ? ??? ? ? ??其中 11M x?? ?0 . 3 3 2 6 7? ? 1 ?2 ?? 3 0. 93 72 98 0a ?221()2xN x e??? ?首頁 按此公式可以求出累積正態(tài)分布函數(shù) 的值，并且通?？梢跃_到小數(shù)點(diǎn)四位數(shù)，其誤差也總是在。 [ m a x( , 0) ]TE S K?其中 表示遠(yuǎn)期合約到期時(shí)間 T時(shí)的股票價(jià)格， K表示交割價(jià)格。 說明 ()r T tF S K e ????因此，可用偏微分方程來求出衍生產(chǎn)品的價(jià)格。 解 ()r T tF S K e ????（ K為交割價(jià)格） 因?yàn)? ()r T tF rKedt??? ??1FdS? ?22 0FS? ??2212s t t s sr S F F S F???則有 ()r T tr S r K e ???? rF?即滿足布萊克 斯科爾斯方程。 首頁 三、二階偏微分方程的類型 對(duì)二階偏微分方程： 0 1 2 3 4 5 0t s s s tt s ta a F a F a F a F a F? ? ? ? ? ?若 25 3 440a a a??則稱其為橢圓型偏微分方程 若 25 3 440a a a??則稱其為拋物線型偏微分方程 若 25 3 440a a a??則稱其為雙曲線型偏微分方程 首頁 例 衍生產(chǎn)品的偏微分方程： 0 1 2 3 0s t s sa F a SF a F a F? ? ? ?由于 4 0a ? 5 0a ?25 3 440a a a??滿足 因此它是拋物線型的偏微分方程。最明顯的邊界價(jià)值是衍生合同最初和最終的價(jià)值。 ()tF S t，tT? 在金融領(lǐng)域中邊界條件代表各種衍生產(chǎn)品的約束條款。即求函數(shù) ，對(duì)其 求不同的偏導(dǎo)數(shù) , 代入方程使其成立。 其中，一般變量為 S， G（）是一個(gè)已知函數(shù)。 說明 1 為得出衍生工具的無套利價(jià)格，需構(gòu)造無風(fēng)險(xiǎn)組合，由此方法導(dǎo)出偏微分方程。否則期權(quán)價(jià)值等于股票價(jià)格與執(zhí)行價(jià)格之差。 ? ? ? ?,TTF S T G S T?這里 )( ?G 是一個(gè)關(guān)于 tS ， T 的已知函數(shù)。要想解出某種特定的衍生產(chǎn)品，必須用到其邊界條件。 tdP表明 首頁 由于無風(fēng)險(xiǎn) ， 為了避免套利 ， 在相同的時(shí)間間隔 里 ，增量 一定等于無風(fēng)險(xiǎn)投資的收益 。 其中 分別是購買的衍生工具和基礎(chǔ)證券的數(shù)量，其代表組合的權(quán)重。 由于 服從正態(tài)分布，從而 具有對(duì)數(shù)正態(tài)分布的特征，因此可以得到 的期望值和方差： TSlnTSTS)(][ tTT SeSE ?? ?]1[)v a r ( )()(22 2 ?? ?? tTtTT eeSS ??首頁 例 7 假設(shè)某種股票當(dāng)前的價(jià)格為 20美元，每年的預(yù)期收益率為 20%，每年的波動(dòng)率為 40%，則在一年后股票價(jià)格的均值和方差是多少？ 解 一年后股票價(jià)格服從正態(tài)分布，其均值為 ][ ?? eSE T)1(400)v ar ( ??? eeS T方差為 首頁 第十章 衍生產(chǎn)品的定價(jià) 偏微分方程 (PDE) 第一節(jié) 無風(fēng)險(xiǎn)組合與偏微分方程 第二節(jié) 衍生產(chǎn)品期權(quán)的定價(jià) 第一節(jié) 無風(fēng)險(xiǎn)組合與偏微分方程 一、無風(fēng)險(xiǎn)組合 衍生產(chǎn)品是以其它證券為基礎(chǔ)簽訂的合同，此合同有一定的期限，用 T來表示到期日， 則衍生工具的價(jià)格 只取決于基礎(chǔ)證券的價(jià)值 和時(shí)間 T，即有 TFtS()TTF F S T? ，即在到期日 , 能確切的知道函數(shù) 的形式 ()TF S T，首頁 如果知道基礎(chǔ)證券的價(jià)值的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 ， 那么我們就可以用 Ito定理來確定衍生產(chǎn)品的價(jià)格的變化 。六個(gè)月后，該股票價(jià)格的概率分布是什么？計(jì)算該分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差（ 95%的置信區(qū)間）。 ),( nm?SS T lnln ?根據(jù)正態(tài)分布的特征，則下式也成立： ]),)(2([ l n~2tTtTS ???? ????TSln這表明 服從正態(tài)分布，其標(biāo)準(zhǔn)差與 成比例，也就是說股票價(jià)格對(duì)數(shù)變化的不確定性是以標(biāo)準(zhǔn)差來估算的，且與估算的時(shí)間長短的平方根成比例。它具有常數(shù)漂移率 和常數(shù)方差率 。 tdW2tS0?? 也是一個(gè)參數(shù)返回 首頁 下面應(yīng)用伊托定理來推導(dǎo) 變化所遵循的隨機(jī)過程。 運(yùn)用這種漸進(jìn)的隨機(jī)微分方程 ， 我們可獲得愈來愈復(fù)雜的模型以反映現(xiàn)實(shí)生活中的金融現(xiàn)象 。因?yàn)椴▌?dòng)率不僅隨時(shí)間的變動(dòng)而變動(dòng) ， 而且在給定的價(jià)格 下波動(dòng)也是隨機(jī)的 。 tS說明 ?這個(gè)模型表示資產(chǎn)價(jià)格在 0附近波動(dòng) ， 并且其偏離最終會(huì)回到長期的 0均值狀態(tài) ， 參數(shù) 控制這種偏離的時(shí)間 ， 越大 ， 回復(fù)均值的速度越快 。 tS0??首頁 五、奧倫斯坦 —— 烏倫貝克過程 形式為： ttt dWdtSdS ?? ???其中主項(xiàng)與 負(fù)相關(guān)，系數(shù)為 ；擴(kuò)展項(xiàng)屬于常參數(shù)類型。 過程 可與長期趨勢(shì)發(fā)生較小的偏離 ，但最終會(huì)回復(fù)到正常趨勢(shì) ， 這種偏離的平均度是由參數(shù) 來控制的 ， 但參數(shù)變小時(shí) ， 偏離的時(shí)間
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