隨機(jī)過程基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)-文庫(kù)吧資料
2024-09-06 21:55本頁(yè)面
【正文】 會(huì)變長(zhǎng) 。 方差 121 )( ?? ?? kkk SSSVa r ?tS tS首頁(yè) 四、均值調(diào)整過程 形式為： tttt dWSdtSdS ??? ??? )(若 比均值 小，則 ，這就使得 傾向于為正數(shù)，故 最終回復(fù)到均值 。 2tStS誤差項(xiàng)的方差與 是成比例的。 tStttt dWSdtSdS ?? ??tS方差 2 121 )( ?? ?? kkk SSSVa r ?即方差與 成正比的。 對(duì)大多數(shù)資產(chǎn)價(jià)格來說 ， 這種指數(shù)趨勢(shì)似乎更符合實(shí)際 。 tttt dWSdtSdS ?? ??tS變形 ttt dWdtSdS ?? ??即說明主項(xiàng)與擴(kuò)展項(xiàng)對(duì)于 的相對(duì)變動(dòng)仍是一個(gè)不變的常數(shù)。 常系數(shù)的隨機(jī)微分方程描述的是資產(chǎn)價(jià)格圍繞線性趨勢(shì)進(jìn)行的一種波動(dòng)。 一、常系數(shù)線性隨機(jī)微分方程 形式為： tt dWdtdS ?? ??其中 是變量 t的標(biāo)準(zhǔn)維納過程 tW隨機(jī)微分方程中，主系數(shù)及擴(kuò)展系數(shù)不隨時(shí)間的變動(dòng)而變化，即與信息集是不相關(guān)的。（簡(jiǎn)單） 首先，令 tWt ez ??其次，用伊藤定理 dtedWedz tt WtWt ?? ?? 221??再次，考慮相應(yīng)的積分方程 ?? ??? t Wt sWt dsedWezz ss 0 200 21 ?? ??最后，兩邊求均值 ]21[][][][0200 ????? t Wt sWt dseEdWeEzEzE ss ?? ??而 1][ 0 ?zE 0][0 ??tsW dWeE s?? 首頁(yè) 故 ??? t st dszEzE 0 2 ][211][ ?若記 tt xzE ?][則有 ??? t st dsxx 0 2211 ?所以 tt xdtdx 221 ?? 且 10 ?x故得 tt ex221 ??即 tt ezE221][ ??從而 ][ Tt SE ][)21(02TtTr zEeS ??? 首頁(yè) 即 ][ Tt SE]|[2221)21(0 tTTr IeEeS ????)( tTrt eS ??)( tTrt eS ??所以 tS ][)( TttTr SEe ???][ )(21)21(022 tTWTr eeeS t ??? ???]|[ )(2121)21(0222ttTtTr IeeEeS ??? ???]|[ )(2121)21(0222ttTtTr IeEeeS ?? ?? ???]|[][ )(21)21(022ttTtTr IeEzEeS ?? ?? ??首頁(yè) 特別 ][00 TrT SEeS ??即當(dāng)時(shí)間 t = 0時(shí)，資產(chǎn)價(jià)格等于預(yù)期將來的價(jià)格用折現(xiàn)率 r來進(jìn)行折現(xiàn)。 st首頁(yè) 要證明結(jié)論成立，需先計(jì)算 ][Tt SE由于 ][ Tt SE故 求 的方法： （ 兩種 ） TWTrT eSS?? ??? )21(02][)21(02TWtTr eEeS ????][ TWt eE ?（ 1） TtTWWt dWWWfeeETT )|(][ ?????? ??其中 )|(tT WWf表示維納過程的條件密度函數(shù) 且條件均值為 w t ，方差為 tT ?利用維納過程的密度函數(shù)直接求。 因此，求得隨機(jī)微分方程的強(qiáng)解為： tWtt eSS??? ??? )21(02 首頁(yè) 要求隨機(jī)微分方程的強(qiáng)解，應(yīng)考慮備選解法，即找出依賴于參數(shù)的函數(shù)，如 然后運(yùn)用伊藤定理來檢驗(yàn)這一備選項(xiàng)是否滿足隨機(jī)微分方程或相應(yīng)的積分方程。 ttuuWtdSS?? ???01tdW因 00 ?W故 即隨機(jī)微分方程的任何解都必須滿足這一積分方程 下面用伊藤定理來解決這一方程。 tW首頁(yè) 四、隨機(jī)微分方程解的證明 看一個(gè)特殊的隨機(jī)微分方程： 即在對(duì)看漲期權(quán)定價(jià)之中運(yùn)用的布萊克 ——休斯模型。 若誤差項(xiàng) 已知 ， 則金融分析家會(huì)選擇強(qiáng)解 。 st~ tItWd~tWd~tH tHtttt WdtSdttSaSd~),~(),~(~ ???說明 2 因此，弱解需要滿足 首頁(yè) 強(qiáng)解和弱解具有相同的主項(xiàng)和擴(kuò)展項(xiàng)，因此 和 具有相似的統(tǒng)計(jì)特性。 tI tStI計(jì)算弱解 時(shí)不需要考慮生成信息集 的過程，但需考慮與過程 的相關(guān)聯(lián)。這一系列小事件形成的“歷史”就是 ｔ 時(shí)刻的信息集 。 雖然基本的密度函數(shù)是相同的，但如果被不同的信息集來衡量，那實(shí)際上這兩個(gè)隨機(jī)過程代表了現(xiàn)實(shí)生活中根本不同的兩種現(xiàn)象。 dt從這個(gè)意義上來講，這兩個(gè)隨機(jī)誤差項(xiàng)之間不存在什么區(qū)別。 ututut dWuSduuSaSS ),(),( 000 ?? ??? ?tttt dWtSdttSadS ),(),( ???tStdW強(qiáng)解與一般微分方程的解是相似的 注 )(?a )(??首頁(yè) 2．弱解 其中 是一維納過程 . 求得過程 已知主參數(shù) ，擴(kuò)展參數(shù) )(?a)(??st~)~,(~ tt WtfS ?tW~使其滿足下面隨機(jī)微分方程 utututu dWuSduuSadS ),(),( 000 ??? ?? ?則稱 是隨機(jī)微分方程的弱解。 )(?a )(??首先 首頁(yè) 再尋求當(dāng)時(shí)間間隔 h趨于
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