【正文】 2） （ 3） ? 關(guān)于 }{ nY 為停時???? ????? 其它01),( 0}{}{nYY nnn??? ?? ????? ????? 其它01),( 0}{}{nYY nnn??? ?? ?證明 （ 1）與（ 2）的等價性 一方面 ),( 0}{0}{0}{ mmnmmnmn YY ?????? ?? ?? ??? ???另一方面 }1{}{}{ ???? ?? nnn ??? ??? 首頁 例 4 （ 2）與（ 3）的等價性由如下兩個等式關(guān)系即得 證 所以 為停時。用數(shù)學(xué)歸納法 首頁 性質(zhì) 6 上鞅 }{nX 下鞅 }{nXnk EXEXEX ??0nk ??0nk ??0證 由性質(zhì) 5得 kkn XYYXE ?),|( 0 ? 上鞅 }{nXkkn EXYYXEE ?)],|([ 0 ??nEXnk EXEXEX ??0首頁 上鞅 性質(zhì) 7 、 上鞅 }{nX }{ nY }{ nn YX ? 下鞅 、 下鞅 }{nX }{ nY }{ nn YX ?證 對 nm ? 有)],|)[( 0 nmm YYYXE ??),|( 0 nm YYXE ?? ),|( 0 nm YYYE ?? 上鞅 }{nX }{ nY nnYX ??首頁 上鞅 性質(zhì) 8 上鞅 下鞅 }{ nX}{ nY證 }{ nn YX ? 下鞅 下鞅 上鞅 }{ nX}{ nY}{ nn YX ?由性質(zhì) 4及性質(zhì) 7立即可得結(jié)果 首頁 性質(zhì) 9 鞅 }{nX 下鞅 證明 |}{| nX對 nm ? 有),||(| 0 nm YYXE ?|),|(| 0 nm YYXE ?? || nX?例 3 設(shè) { ， }是在直線上整數(shù)點上的貝努利隨機(jī)游動，即它是一個以 為狀態(tài)空間的時齊的馬爾可夫鏈，它的轉(zhuǎn)移矩陣 滿足 nX ?,2,1,0?n},2,1,0{ ????I)( ijpP ?首頁 其中 則 （ 1） ????????????1||,01,1,ijijqijpp iiijpp i ? ， qq i ? ， 10 ?? p ， 1?? qp{ nX ， ?,2,1,0?n } 是下鞅的充要條件是 qp ?（ 2） （ 3） { nX ， ?,2,1,0?n } 是上鞅的充要條件是 qp ?{ nX ， ?,2,1,0?n } 是鞅的充要條件是 qp ?首頁 證 設(shè) 其中 所以 故 nn XX ??? ????? ?2100X 表示初始位置{ n? } 與 0X 獨立{ n? ， ?,2,1,0?n } 相互獨立，且具有同分布：pP n ?? )1(? qPn ??? )1(? 1?n由 nX 的定義知，1?n? 與 { 0X ， 1X ，?， nX } 獨立),|( 011 XXXXE nnn ???),|( 011 XXXE nnn ???? ? ),|( 01 XXXXE nnn ???)( 1?? nE ? nX? qp ??nX?),|( 011 XXXXE nnn ??? nX?qp ??下鞅 0 0 =0 上鞅 鞅 首頁 三、停時 定義 5 設(shè) }{ nY （ ?,2,1,0?n ）是一隨機(jī)序列，? 是取值 0 ， 1 ，?， ? 的一個隨機(jī)變量，若對任意 0?n ，事件 }{ n?? 由 nYY ,0 ? 決定，意即只從 nYY ,0 ? 的知識判別 n?? 與否，也即 ),( 0}{}{ nnn YY ??? ? ?? ??則稱 ? 關(guān)于 }{ nY 為停時，簡稱 為停時 ?首頁 停時的直觀背景解釋： 設(shè)想賭徒在前 n+1次賭博的賭本為 ，那么停時就是這個賭徒?jīng)Q定何時停止賭博的策略。 性質(zhì) 3 為鞅的充分必要條件是， 既為上鞅也為下鞅。 證 性質(zhì) 2 即 證 }{ nc 其中 cc n ?),|( 01 nn YYcE ?? ),|( 0 nYYcE ?? ncc ??若 }{ nX 為鞅，則對任意 0?n ，有0EXEX n ?nX 的數(shù)學(xué)期望 nEX 是一常數(shù) 0EX)],|([ 011 nnn YYXEEEX ??? ? nEX?依次遞推，可得 01 EXEXEX nn ??? ? ?首頁 例 1 令 且對任意 有 證 由條件期望的性質(zhì)可得 設(shè) }{ nY （ ?,2,1,0?n ）為獨立隨機(jī)序列，00 ?Yknkn YX ???0?? ),|( 01 nn YYXE ? ],|)[( 01 nnn YYYXE ???),|( 0 nn YYXE ?? ),|( 01 nn YYYE ???1??? nn EYX nX?0?nEY0?n則 }{ nX 關(guān)于 }{ nY 是鞅??? ??||||0knkn YEXE且 所以 }{nX 關(guān)于 }{ nY 是鞅首頁 例 2 令 證 （ 1） 設(shè) }{ nY 是任一隨機(jī)序列，X 為滿足 ??|| XE 的任一隨機(jī)變量),|( 0 nn YYXEX ?? 0?n則 }{ nX 關(guān)于 }{ nY 是鞅|),|(||| 0 nn YYXEEXE ??)],||(|[ 0 nYYXEE ?? ??? || XE（ 2） ),|(01 nn YYXE ??],|),|([ 010 nn YYYYXEE ?? ??),|( 0 nYYXE ?? nX?所以 }{ nX 關(guān)于 }{ nY 是鞅。設(shè)當(dāng) knm ?? （ 1?k ）時 （ 1 ）成立，則有 ),|( 01 nkn YYXE ???],|),|([ 001 nknkn YYYYXEE ?? ????),|( 0 nkn YYXE ???nX?即當(dāng) 1??? knm 時 （ 1 ）成立。 而鞅 則表示這種賭博使第 n+1年的平均賭本仍為第 n年的賭本，這種賭博稱為公平賭博。 ??? T dttXTmm 0 )(1?dttXtXTTBB )()(01)(?)( ????? ??????)(?B其具體做法如下： 把 [0 ， T ] 等分為 N 個長 NTt ?? 的小區(qū)間，在時刻 tkt k ??? )21( （ Nk ,2,1 ?? ）對 )( tX 取樣，1 得樣本函數(shù)的 N個值 )( kk tXX ? ， Nk ,2,1 ??將上面的積分表示為和式 2 3 首頁 tXTm kNk?? ?? 11?kNkXN ???11?)(? ?B tXXT rkkrNkr?? ????11?rkkrNkXXrN ??????11其中 trr ??? ， mr ,2,1,0 ?? ， Nm ?根據(jù)這兩個估計式，可以算出 各不同數(shù)值時相關(guān)函數(shù)的一系列近似值，從而可以作出相關(guān)函數(shù)的近似曲線。 )(tX 在實際應(yīng)用中， 的表達(dá)形式常常不能給出， 因此下面介紹第二種方法。 引理 二、遍歷性定理 且 則 設(shè) { )( tX , ?????? t } 為均方連續(xù)平穩(wěn)過程，mtXE ?)]([ ??? TTdttXY T )(2 1mtXEYE ?? )]([][2121 )()( 241 dtdtttKYD TTTTT ? ?? ???其中 2)()( mBK ?? ??21 tt ???首頁 證 由均方可積條件得 ])()( [2 1 ??? TTdttXYE ET mdttXETTT?? ??)]([2 1)( 2YE ])()(24 2211[1 ?????? TTTTdttXdttXTE2121 )]()([241 dtdttXtXETTTTT? ?? ??2121 )(241 dtdtttBTTTTT? ?? ???所以 ?)( YD )( 2YE 2)]([ YE?2121 )(241 dtdtttBTTTTT? ?? ??? 2m? 首頁 為應(yīng)用方便，化簡上式 令 21221 ])([241 dtdtmttBTTTTT? ?? ????2121 )(241 dtdtttKTTTTT? ?? ???21 tt ??? 22 tt ?則 1),(),(221 ???ttt?于是 )(YD ? ???ddtKT TTT])([242021 ? ?? ?????? ? ddtKT T T ])([ 220? ? ???首頁 ? ??? dKTT T???? 02)()2(241 ???? dKTT? ?? 20 )()2(??? dKTTTT???? 22)(|)|2(241??? dmBTTTT????? 222 ))()(2||1(21定理 1 均值遍歷性定理 設(shè) { )( tX , ?????? t } 是均方連續(xù)平穩(wěn)過程，則 )( tX 有均值遍歷性的充要條件為0))()(2 ||1(2l i m 2221 ??????????? dmBTTTTT其中 mtXE ?)]([ ， )( ?B 是相關(guān)函數(shù)， 21 tt ??? 。)]([ tXE )]ωc os