【文章內(nèi)容簡介】 ω t + Bsin ω t, t∈ T= =(∞, +∞)，其中 A, B相互獨立，且均是服從正態(tài)分布 N(0, σ2) 的隨機變量， ω 是實常數(shù)。證明 : X(t)是正態(tài)過程，并求其均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。 解 由題設(shè)， A, B是相互獨立的正態(tài)變量，所以 (A, B)是二維正態(tài)變量。對任意一組實數(shù) t1, t2, ? , tn∈ T, X(ti)=Acosωti+Bsinωti, i=1, 2, ? , n 都是 A, B的線性組合。于是，根據(jù)第四章 167。 4, n維正態(tài)變量的性質(zhì) 3。 , (X(t1), X(t2), ? ,X(tn))是 n維 正態(tài)變量 。 因為 n, ti是任意的，由定義， X(t)是正態(tài)過程。 另由題設(shè)，有 E(A)=E(B)=E(AB)=0, E(A2)=E(B2)=σ2. 由此，可算得 X(t)的均值函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù) (或自相關(guān)函數(shù) )分別為： μX(t) = E{Acosωt+Bsinωt}=0, CX(t1,t2) = RX(t1,t2) = E[(Acosωt1+Bsinωt1) (Acosωt2+Bsinωt2)] = (cos ωt1 cos ωt2)E(A2)+(sin ωt1 sin ωt2)E(B2) + (cos ωt1 sin ωt2+ sin ωt1 cos ωt2)E(AB) = σ2(cosωt1cosωt2+sinωt1sinωt2) = σ2cosω(t2t1). 二維隨機過程的分布函數(shù)和數(shù)字特征 實際問題中，我們有時必須同時研究兩個或兩個以上隨機過程及它們之間的統(tǒng)計聯(lián)系。例如：某地在時段 (0, t]內(nèi)的最高溫度 X(t)和最低溫度 Y(t)都是隨機過程，需研究它們的統(tǒng)計聯(lián)系。又如：輸入到一個系統(tǒng)的信號和噪聲可都是隨機過程，這時，輸出也是隨機過程。我們需要研究輸出與輸入之間的統(tǒng)計聯(lián)系等等。對于這類問題，我們除了對各個隨機過程的統(tǒng)計特征加以研究外，還必須將幾個隨機過程作為整體研究其統(tǒng)計特征。 設(shè) {X(t), t∈ T } 和 {Y(t), t∈ T }是同一參數(shù)空間上的兩個不同的隨機過程，稱 {(X(t),Y(t)), t∈ T }是二維隨機過程。 設(shè) {(X(t),Y(t)), t∈ T }是二維隨機過程，如果對任意正整數(shù) n, m，任意數(shù)組 t1, t2,? , tn ∈ T， t’1, t’2, ? , t’m ∈ T，稱 n+m 維隨機變量 (X(t1), X(t2),? , X(tn), Y(t’1), Y(t’2),? ,Y(t’m)) 的分布函數(shù) F(x1, x2,? , xn。 t1, t2,? , tn: y1, y2,? ,ym 。t’1, t2’, ? , t’m) 為隨機過程 X(t)與 Y(t)的 n+m維聯(lián)合分布函數(shù)。 如果對任意正整數(shù) n, m，任意數(shù)組 t1, t2,? , tn ∈ T。 t’1, t’2, ? , t’m ∈ T， n維隨機變量 (X(t1), X(t2),? , X(tn)) 與 m維隨機變量 (Y(t’1), Y(t’2),? ,Y(t’m))相互獨立，則稱隨機過程 X(t)和 Y(t)是 相互獨立的 。 關(guān)于數(shù)字特征，除 X(t), Y(t)的均值和自相關(guān)函數(shù)外，在應(yīng)用課題中感興趣的是 X(t)和 Y(t)的二階混合原點矩，記作 并稱它為 X(t)和 Y(t)的 互相關(guān)函數(shù)。 類似地，還有如下定義的 X(t)和 Y(t)的 互協(xié)方差函數(shù) 如果對任意的 t1, t2∈ T，恒有 則稱隨機過程 X(t)和 Y(t)是 不相關(guān)的 。 ( 2 . 9 ) ,) ] ,()([),( 212121 TtttXtXEttR XY ??( 2 . 1 0 ) ,),()(),() ] }()() ] [()({[),(212121221121 ttYttXEttCYXXYYXXY??????????( 2 . 1 1 ) ,0),( 21 ?ttC XY 由第四章 167。 3可推知，兩個隨機過程如果是相互獨立的 , 且它們的二階矩存在 , 則它們必然不相關(guān)。反之 , 從不相關(guān)一般并不能推斷出它們相互獨立。 當(dāng)同時考慮 n(n2)個隨機過程或 n維隨機過程時 , 我們可類似地引入它們的多維分布，以及均值函數(shù)和兩兩之間的互相關(guān)函數(shù) (或互協(xié)方差函數(shù) )。 在許多應(yīng)用問題中，經(jīng)常要研究幾個隨機過程之和 (例如，將信號和噪聲同時輸入到一個線性系統(tǒng)的情形 ) 的統(tǒng)計特征?，F(xiàn)考慮三個隨機過程 X(t), Y(t)和 Z(t)之和的情形，令 W(t)=X(t)+Y(t)+Z(t). 顯然，均值函數(shù) 而 W(t)的自相關(guān)函數(shù)可以根據(jù)均值運算規(guī)則和相關(guān)函數(shù)的定義得到， ).()()()( tttt ZYXW ???? ???).,(),(),(),(),(),(),(),(),()]()([),(2121212121212121212121ttRttRttRttRttRttRttRttRttRtWtWEttRXZXYWWZZZYZXYZYYYXXX ?????????? 此式表明：幾個隨機過程之和的自相關(guān)函數(shù)可以表示為各個隨機過程的自相關(guān)函數(shù)以及各對隨機過程的互相關(guān)函數(shù)之和。 如果上述三個隨機過程是兩兩不相關(guān)的，且各自的均值函數(shù)都為零，則由 ()是可知諸互相關(guān)函數(shù)均等于零，此時 W(t)的自相關(guān)函數(shù)簡單地等于各個過程的自相關(guān)函數(shù)之和，即 特別地，令 t1=t2=t, 由 ()式，得 W(t)的方差函數(shù)(此處即均方值函數(shù) )為 ( 2 . 1 2 ) ).,(),(),(),( 21212121 ZZYYXX ttRttRttRttR WW ???).()()()()( 22222 ttttt ZYXWW ?????????167。 泊松過程及維納過程 泊松 (Poission) 過程及維納 (Wiener) 過程是兩個典型的隨機過程，在隨機過程理論和應(yīng)用中都占重要地位，都屬于 獨立增量過程 。下面首先介紹獨立增量過程。 給定二階矩過程 {X(t), t ≥0}, 稱 X(t)X(s), 0≤st為隨機過程在區(qū)間 (s, t]上的增量。如果對任意正整數(shù) n 和任意 0≤t0 t1 t2 ? tn, n個增量 X(t1)X(t0), X(t2)X(t1), ? , X(tn)X(tn1) 相互獨立，則稱 {X(t), t ≥0}為 獨立增量過程 。 直觀地說： 就是在互不重疊的區(qū)間上，狀態(tài)的增量相互獨立。 對于獨立增量過程，可以證明：在 X(0)=0 的條件下 , 過程的有限維分布函數(shù)族可以由增量 X(t)X(s) (0≤st)的分布所確定。 特別地，若對任意的實數(shù) h 和 0 ≤ s+ h t+ h, X(t + h)X(s + h) 與 X(t)X(s) 具有相同的分布，則稱增量具有平穩(wěn)性。 這時，增量 X(t)X(s) 的分布函數(shù)實際上只依賴于時間差 t s (0≤st)，而不依賴于 t和 s 本身 (事實上，令 h=s即知 )。 當(dāng)增量具有平穩(wěn)性時，稱相應(yīng)的獨立增量過程是 齊次的 或 時齊的 。 在 X(0)=0 和方差函數(shù) DX(t) 已知條件下，可計算獨立增量過程 {X(t), t ≥0}的協(xié)方差函數(shù) CX(s, t)。 記 Y(t)= X(t)μX(t)。首先注意到：當(dāng) X(t) 具有獨立增量時 , Y(t)也具有獨立增量 。 其次 注意到 : Y(0)=0, E[Y(t)]=0，且方差函數(shù) DY(t)= E[Y2(t)]= DX(t)。利用這些性質(zhì)，當(dāng) 0≤st 時，就有 ).()]0()([)]()([)]0()([]})0()()()() ] [0()({[)]()([),(2sDYsYEsYtYEYsYEYsYsYtYYsYEtYsYEtsCXX???????????? 故，對任意 s, t≥0，協(xié)方差函數(shù)可用方差函數(shù)表示。 ( 3 . 1 ) ) ) .,( m i n (),( tsDtsC XX ?