【文章內(nèi)容簡介】 .)],(?[ 21 ?? ?nXXXE ?例 1： 設(shè) X1, X2, ? , Xn 為抽自均值為 ? 的總體 X的隨機樣本，考慮 ? 的如下幾個估計量： 例如： 若 ? 指的 是正態(tài)總體 N(? , ?2)的均值 ?,則其一切可能取值范圍是 (∞ ,∞ )。若 ? 指的是方差 ?2，則其一切可能取值范圍是 (0,∞ )。 的無偏估計。是所以，因 ? ,)()?( ? 11111????????XEEX的無偏估計。是所以因 ? , ,)?( 2? 22212????????EXX的無偏估計。是 )4( 4? 1213?? ????? ? nXXXX nn是有偏估計。 2? 14 X??是有偏估計。 3? 215 XX ??? 定理 1： 設(shè)總體 X 的均值為 ?,方差為 ?2, X1,X2,? ,Xn 為來自總體 X 的隨機樣本，記 與 分別為樣本均值與樣本方差，即 即 樣本均值和樣本方差分別是 總體均值 和總體方差 的無偏估計 。 .)(11 ,1 2121XXnSXnX niinii ? ???????.)( , )( 22 ?? ?? SEXE則X 2S證明： 因為 X1, X2, ? , Xn 獨立同分布，且 E(Xi )=μ , 所以 ；?? ??????????? ????nnXEnXnEXEniinii1)(11)(11另一方面，因 , )(2)(21221 1221XnXXnXXXXXniininiiinii???? ??????????,)]([)()(,)]([)()(22222222????????????iii XEXDXEnXEXDXE于是，有 . )(11 )()(11)(222222122????????????????????????????????????nnnnXnEXEnSEnii注意到 的無偏估計。也未必是無偏估計，的是是：即使的估計。但必須注意的作為用的一個估計，我們通常是參數(shù)如果)()?(?)()?(?????????gggg 前面兩節(jié)中，我們曾用矩法和極大似然法分別求得了正態(tài)總體 N(μ , σ2) 中參數(shù) σ2 的估計 ,均為 .)(1? 212 XXnnii ?????很顯然，它不是 σ2 的無偏估計。這正是我們?yōu)槭裁匆獙⑵浞帜感拚秊? n1，獲得樣本方差 S2來估計 σ2 的理由。 例 2： 求證：樣本標(biāo)準(zhǔn)差 S 不是總體標(biāo)準(zhǔn)差 ? 的無偏估計。 證明： 因 E(S2)=? 2， 所以， D(S)+[E(S)]2 =? 2， 由 D(S)＞ 0，知 [E(S)]2 = ? 2 D(S)＜ ? 2. 所以， E(S)＜ ?. 故， S 不是 ? 的無偏估計。 例 3： 設(shè)總體 X的 k階原點距為 ak=E(Xk)， X1, X2, ? , Xn是 X 的隨機樣本，樣本 k 階原點距為 Ak, 則Ak是 ak的無偏估計， k=1,2, ? 。 證明： 因 X1, X2, ? ,Xn獨立，且與 X 同分布 ，故 .,2,1,1)(11)(11?????????????????kananXEnXnEAE kknikinikik 即， Ak是 ak的無偏估計。 這就是人們?yōu)槭裁闯Ｓ脴颖? k 階矩估計總體 k 階矩的主要原因之一。 例 4： 設(shè)總體 X 服從參數(shù)為 θ 的指數(shù)分布 ，即其概率密度函數(shù)為 證明： 設(shè) Z的分布函數(shù)為 FZ(z, θ)，先求分布函數(shù)，然后導(dǎo)出 Z 的概率密度函數(shù)及 E(nZ)。 ?????? ??.0,0,0,),( /1xxexf x ???若 X1, X2, ? ,Xn 是 X 的隨機樣本 ，記 ),m in ( 21 nXXXZ ??則 nZ 為 θ 的無偏估計。 因 X1, X2, ? ,Xn獨立，且與 X 同分布 ，所以，對任意給定的 Z0,有 .1)(1}{}{}{1},{1}),{ m i n (1}{1}{),(//212121???nznznnnZeezXPzXPzXPzXzXzXPzXXXPzZPzZPzF???????????????????????? ???于是 ， E(Z)=θ/n， E(nZ)= θ ， 即 nZ 為 θ 的無偏估計。 ?????? ?.0,0,0,)/(),( )/(zzenzf znZ ??? 用估計量 估計 ?， 估計誤差 均方誤差準(zhǔn)則 ),(? 21 nXXX ?? 是隨機變量，通常用其均值衡量估計誤差的大小。 要注意 : 為了防止求均值時正、負(fù)誤差相互抵消，我們先將其平方后再求均值，并稱其為均方誤差，記成 ，即 ?? ?),(? 21 nXXX ?.)?()?( 2??? ?? EM S E)?(?M S E 哪個估計的均方誤差小，就稱哪個估計比較優(yōu)，這種判定估計優(yōu)劣的準(zhǔn)則為“均方誤差準(zhǔn)則”。 注意： 均方誤差可分解成兩部分 : , ? ? 21 ??? 和的兩個估計對證明： .])?([)?()?( 2???? ??? EDM S E)]?(?[])?([2 ])?([)]?(?[ ]})?([)]?(?{[ )?()?(2222???????????????EEEEEEEEEEM S E??????????????.])?([)?( 2??? ??? ED 上式表明，均方誤差由兩部分構(gòu)成：第一部分是估計量的方差， 第二部分是估計量的 偏差的平方和。 注意： 如果一個估計量是無偏的，則第二部分是零，則有 : 2])?([)?()?( ???? ??? EDM S E 如果兩個估計都是無偏估計，這時哪個估計的方差小，哪個估計就較優(yōu)。這種判定估計量優(yōu)劣的準(zhǔn)則稱為方差準(zhǔn)則。 。)?()?( ?? DM S E ?例 5： 設(shè) X1, X2, ? , Xn 為抽自均值為 ? 的總體 ,考慮 ? 的如下兩個估計的優(yōu)劣： 我們看到 : 顯然兩個估計都是 ? 的無偏估計。計算二者的方差： .11? ,?1???? ???nijjji XnX ??,)()?(2nXDD?? ??.1)(11)?( 212?????????? ???? nXDnDnijjji??。優(yōu)于方差小，比于是， ? ? ii XX ?? ??這表明：當(dāng)用樣本均值去估計總體均值時，使用全樣本總比不使用全樣本要好。 前面討論了參數(shù)的點估計。點估計就是利用樣本計算出的值 (即實軸上點 ) 來估計未知參數(shù)。 167。 區(qū)間估計 其優(yōu)點是： 可直地告訴人們 “未知參數(shù)大致是多少”； 缺點是： 并未反映出估計的誤差范圍 (精度 )。 故，在使用上還有不盡如人意之處。 而區(qū)間估計正好彌補了點估計的這一不足之處 。 例如： 在估計正態(tài)總體均值 181。 的 問題中 ,若根據(jù)一組實際樣本，得到 181。 的極大似然估計為 。 一個可以想到的估計辦法是：給出一個區(qū)間，并告訴人們該區(qū)間包含未知參數(shù) 181。 的可靠度 (也稱置信系數(shù) )。 實際上， 181。 的真值可能大于 ，也可能小于 。 也就是說，給出一個區(qū)間，使我們能以一定的可靠度相信區(qū)間包含參數(shù) 181。 。 這里的“可靠度”是用概率來度量的，稱為置信系數(shù)，常用 表示 ??1 。)10( ?? ? 置信系數(shù)的大小常根據(jù)實際需要來確定，通常取 ，即 .1)??( 21 ???? ????P。或 0 . 0 1 ?? 根據(jù)實際樣本，由給定的置信系數(shù)，可求出一個盡可能短的區(qū)間 ，使 ]?,?[21 ??。完全確定的已知函數(shù)，由樣本為兩個統(tǒng)計量與置信區(qū)間。其中的的置信系數(shù)為為稱區(qū)間212121? ? (?? 1 ]? ,?[ ?????????? 為確定置信區(qū)間，我們先回顧前面給出的隨機變量的上 α 分位點的概念。 分位點。的上為的點，稱滿足對隨機變量，設(shè)