某學(xué)院隨機(jī)過程講稿(編輯修改稿)
2025-01-24 23:33 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ? ?? ? ? ?[定義 ] 如果獨(dú)立增量過程的增量 X(tk)X(tk1)的分布僅與時間差 (tktk1)有關(guān)，而與 tk,tk1本身無關(guān)，則稱它為齊次的獨(dú)立增量過程。 [定理 ] 對于獨(dú)立增量過程 ，如果它還滿足 ，則該過程也是正交增量過程。 ? ?? ?,X t t T? ? ? ? ? 20,E X t E X t??? ? ????? ??獨(dú)立增量過程 泊松過程 維納過程 泊松過程 [定義 ] 在 (0,t)內(nèi)出現(xiàn)事件 A的總數(shù)所組成的過程 稱為計數(shù)過程。 計數(shù)過程 ? ?? ?,0N t t ?[定義 ] 在計數(shù)過程中，如果在不相交疊的時間間隔內(nèi)出現(xiàn)事件 A的次數(shù)是相互統(tǒng)計獨(dú)立的，則該計數(shù)過程為獨(dú)立增量過程。 [定義 ] 在計數(shù)過程中，如果在 [t1,t1+s)內(nèi)出現(xiàn)事件 A的次數(shù)僅與時間差 s=t1+st1有關(guān)，而與起始時間 t1無關(guān)，即 [N(t1+S)N(t1)]僅與 s有關(guān)而與 t1無關(guān)，則稱該計數(shù)過程為平穩(wěn)增量的計數(shù)過程。 泊松過程概念 泊松過程是計數(shù)過程，而且是最重要的一類計數(shù)過程。設(shè)有一隨機(jī)過程 {X(t)， t ≥0 }， 如果 X(t)滿足： （ 1） 從 t=0起開始觀察事件，即 X(0)=0。 （ 2） X(t)是獨(dú)立增量過程 。 （ 3）該計數(shù)過程為平穩(wěn)增量過程； （ 4）在 (t,t+Δt)內(nèi)，當(dāng) 時出現(xiàn)一個事件概率為 ； （ 5）在 (t,t+Δt)內(nèi)，當(dāng) 時出現(xiàn)事件二次及二次以上的概率為 ； 則稱該計數(shù)過程為泊松過程。 0t??? ? ? ?1 ,P t t t t t??? ? ? ? ? ?0t? ?t? ?[定理 ] 泊松過程 在時間間隔 [t0,t0+t]內(nèi) n次出現(xiàn)事件 A的概率為： ? ?? ?,0X t t ?? ? ? ?? ?? ?? ?00 !0 , 1 , 2 , ....nttP X t t X t n enn?? ?? ? ? ??????證明：略。 泊松過程的統(tǒng)計特性 1111 1 1[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]) ) )! ( 1 ) ! ( 1 ) !nn n nt t tn n nE X t X t n P X t nt t t tn e e t e tn n n????? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ?① 數(shù)學(xué)期望 2 2 2 211)[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]!ntnntE X t X t n P X t n n e t tn?? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ???② 均方值與方差 22[ ( ) ] ( ( ) ) ( ( ) )D X t E X t E X t t? ? ? ?③ 自相關(guān)函數(shù) 222( , ) [ ( ) ( ) ][ ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ][ ( ) ( ( ) ( ) ) ] [ ( ( ) ) ][ ( ( ) ) ] [ ( ( ) ( ) ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]( ) ( ) ( 1 )XR s t E X s X t
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