隨機(jī)過程知識(shí)點(diǎn)匯總(編輯修改稿)
2025-07-19 19:39 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 態(tài)是非常返（滑過）態(tài)。5．表示由出發(fā)再返回到的平均返回時(shí)間。若，則稱是正常返態(tài)；若，則稱是零常返態(tài)。非周期的正常返態(tài)是遍歷狀態(tài)。6．狀態(tài)是常返充要條件是；狀態(tài)是非常返充要條件是。7．稱狀態(tài)與互通。如果，則他們同為常返態(tài)或非常返態(tài)，；若，同為常返態(tài)，則他們同為正常返態(tài)或零常返態(tài)，且，有相同的周期。8．狀態(tài)是遍歷狀態(tài)的充要條件是。一個(gè)不可約的、非周期的、有限狀態(tài)的馬爾可夫鏈?zhǔn)潜闅v的。9．要求：熟悉定義定理，能由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，從而識(shí)別各狀態(tài)。三．狀態(tài)空間的分解1．設(shè)是狀態(tài)空間的一個(gè)閉集，如果對(duì)任意的狀態(tài)，狀態(tài)，都有（即從出發(fā)經(jīng)一步轉(zhuǎn)移不能到達(dá)），則稱為閉集。如果的狀態(tài)互通，則稱是不可約的。如果狀態(tài)空間不可約，則馬爾可夫鏈不可約。或者說除了之外沒有其他閉集，則稱馬爾可夫鏈不可約。2．為閉集的充要條件是：對(duì)任意的狀態(tài)，狀態(tài)，都有。所以閉集的意思是自的內(nèi)部不能到達(dá)的外部。意味著一旦質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入閉集中，它將永遠(yuǎn)留在中運(yùn)動(dòng)。 如果，則狀態(tài)為吸收的。等價(jià)于單點(diǎn)為閉集。3．馬爾可夫鏈的分解定理：任一馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間，必可唯一地分解成有限個(gè)互不相交的子集的和，①每一個(gè)都是常返態(tài)組成的不可約閉集；②中的狀態(tài)同類，或全是正常返態(tài)，或全是零常返態(tài)，有相同的周期，且。③是由全體非常返態(tài)組成。 分解定理說明：狀態(tài)空間的狀態(tài)可按常返與非常返分為兩類，非常返態(tài)組成集合，常返態(tài)組成一個(gè)閉集。閉集又可按互通關(guān)系分為若干個(gè)互不相交的基本常返閉集。 含義：一個(gè)馬爾可夫鏈如果從中某個(gè)非常返態(tài)出發(fā)，它或者一直停留在中，或某一時(shí)刻進(jìn)入某個(gè)基本常返閉集，一旦進(jìn)入就永不離開。一個(gè)馬爾可夫鏈如果從某一常返態(tài)出發(fā)，必屬于某個(gè)基本常返閉集，永遠(yuǎn)在該閉集中運(yùn)動(dòng)。4．有限馬爾可夫鏈：一個(gè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間是一個(gè)有限集合。性質(zhì)：①所有非常返態(tài)組成的集合不是閉集；②沒有零常返態(tài)；③必有正常返態(tài)；④狀態(tài)空間，是非常返集合，是正常返集合。不可約有限馬爾可夫鏈只有正常返態(tài)。四．的漸近性質(zhì)與平穩(wěn)分布1．為什么要研究轉(zhuǎn)移概率的遍歷性？ 研究當(dāng)時(shí)的極限性質(zhì)，即的極限分布，包含兩個(gè)問題：一是是否存在；二是如果存在，是否與初始狀態(tài)有關(guān)。這一類問題稱作遍歷性定理。如果對(duì)，存在不依賴于的極限，則稱馬爾可夫鏈具有遍歷性。 一個(gè)不可約的馬爾可夫鏈，如果它的狀態(tài)是非周期的正常返態(tài)，則它就是一個(gè)遍歷鏈。 具有遍歷性的馬爾可夫鏈，無論系統(tǒng)從哪個(gè)狀態(tài)出發(fā)，當(dāng)轉(zhuǎn)移步數(shù)充分大時(shí)，轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的概率都近似等于，這時(shí)可以用作為的近似值。2．研究平穩(wěn)分布有什么意義？判別一個(gè)不可約的、非周期的、常返態(tài)的馬爾可夫鏈?zhǔn)欠駷楸闅v的，可以通過討論來解決，但求極限時(shí)困難的。所以，我們通過研究平穩(wěn)分布是否存在來判別齊次馬爾可夫鏈?zhǔn)欠駷楸闅v鏈。一個(gè)不可約非周期常返態(tài)的馬爾可夫鏈?zhǔn)潜闅v的充要條件是存在平穩(wěn)分布，且平穩(wěn)分布即極限分布=。3．是齊次馬爾可夫鏈，狀態(tài)空間為，一步轉(zhuǎn)移概率為，概率分布稱為馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布，滿足4．定理：不可約非周期馬爾可夫鏈?zhǔn)钦７档某湟獥l件是存在平穩(wěn)分布，且此平穩(wěn)分布就是極限分布。 推論：有限狀態(tài)的不可約非周期馬爾可夫鏈必存在平穩(wěn)分布。5．在工程技術(shù)中，當(dāng)馬爾可夫鏈極限分布存在，它的遍歷性表示一個(gè)系統(tǒng)經(jīng)過相當(dāng)長時(shí)間后達(dá)到平衡狀態(tài)，此時(shí)系統(tǒng)各狀態(tài)的概率分布不隨時(shí)間而變，也不依賴于初始狀態(tài)。6．對(duì)有限馬爾可夫鏈，如果存在正整數(shù)，使，即k步轉(zhuǎn)移矩陣中沒有零元素，則該鏈?zhǔn)潜闅v的。第六章 平穩(wěn)隨機(jī)過程一
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