【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 一步作非退化線(xiàn)性替換 就 變成 2 2 2 211p p rz z z z?? ? ? ?. 稱(chēng)其為實(shí)二次型 12( , , , )nf x x x 的規(guī)范形 . 第 11 頁(yè) , 共 16 頁(yè) 在一般的數(shù)域內(nèi) , 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的 (從上面例題可看出 ), 與所作的非退化線(xiàn)性替換有關(guān) , 但其規(guī)范形是唯一的 . 在實(shí)二次型 12( , , , )nf x x x 的規(guī)范形中的正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù) p 稱(chēng)為 12( , , , )nf x x x 的正慣性指數(shù) 。 負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù) rp? 稱(chēng)為12( , , , )nf x x x 的負(fù)慣性指數(shù) 。 它們的差 2pr? 稱(chēng)為 12( , , , )nf x x x 的符號(hào)差 . 定義 對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù) 12, , , nc c c , 若都有 12( , , , )nf c c c ? 0( 0? ), 則 12( , , , )nf x x x 稱(chēng)為正定的 (半正定 的 )。 若都 有 12( , , , )nf c c c ? 0( 0? ), 則12( , , , )nf x x x 稱(chēng)為負(fù)定的 (半負(fù)定的 )。 若 12( , , , )nf x x x 既不半正定也不 半負(fù)定 , 則稱(chēng)是不定二次型 . 設(shè)實(shí)二次型 12( , , , )nf x x x =XAX? , 其中 A 是 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 , 則下面幾個(gè)條件都是 二次型 12( , , , )nf x x x =XAX? 為正定二次型的等價(jià)條件 : (1) 對(duì)任意非零實(shí)向量 C? = 12( , , , )nc c c , 都有 12( , , , )nf c c c =CAC? ? 0。 (2) 二次型 f 的正慣性指數(shù) 等于 n 。 (3) 存在實(shí)可逆矩陣 T , 使 TAT? = 1ndd??????, 其中 0id? （ 1,2, ,in? ） 。 (4) 存在實(shí)可逆矩陣 B , 使 A BB?? 。 (5) 矩陣 A 的特征值全為正數(shù) 。 (6) 矩陣 A 與單位矩陣 E 合同 。 (7) 矩陣 A 的順序主子式全大于零 . 下面簡(jiǎn)單證明一下 : (1) C 為非零向量 , 故 12, , , nc c c 不全為零 , 由定義可知二次型12( , , , )nf x x x =XAX? 為正定二次型與 12( , , , )nf c c c =CAC? ? 0 等價(jià) . (2)設(shè)二次型 12( , , , )nf x x x 經(jīng)過(guò)非退化線(xiàn)性替換變成標(biāo)準(zhǔn)形 2 2 21 1 2 2 nnd y d y d y? ? ? () 則 12( , , , )nf x x x 正定當(dāng)且僅當(dāng) ()式正定 (非退化線(xiàn)性替換保持正定性不變 ), 而二 第 12 頁(yè) , 共 16 頁(yè) 次型 ()正定當(dāng)且僅當(dāng) 0id? , 1,2, ,in? , 即它的正慣性指數(shù)為 n . (3)設(shè) (2)中非退化線(xiàn)性替換為 X DY? , 則令 T =D 即可 . (4)取 B = 1ndd??????1T? 即可 . (5)?設(shè) A? ??? , 則 0A? ? ?? ?????, 故 ? 0? . ?矩陣 A 的特征值全為正數(shù) , 故 二次型 f 的正慣性指 數(shù) 等于 n , 由 (2)知 f 正定 . (6)由 (4)及合同概念可得知 . (7)先證必要性 , 設(shè)二次型 12( , , , )nf x x x =11nnij i jija xx????是正定的 . 對(duì)于每個(gè) k , 1 kn??, 令 1( , , )kkf x x =11kkij i jija xx????, 對(duì)任意一組不全為零的實(shí)數(shù) 12, , , kc c c , 有 1( , , )kkf c c =11kkij i jija cc????= 1( , , , 0, , 0)kf c c 0? 因此 1( , , )kkf x x 是正定的 . 因正定矩陣的行列式大于零 (由 (4)可得知 ), 故 kf 的矩陣的行列式 11 11kk kkaaaa? 0, 1,2, ,kn? . 即矩陣 A 的順序主子式全大于零 . 至于充分性 , 可用數(shù)學(xué)歸納法證明 . 例 2. 設(shè)二次型 12( , , , )nf x x x = 211(1 ) 2ni i i ji i j nb x x x? ? ? ?????的矩陣為 B , 其中 0ib? ( 1,2, ,in? ), 1110ni ib????, 則 ()X B A A X??? 是正定二次型 ? 還是負(fù)定 ? 還是不定 ? 其中 A 是任意可逆實(shí)矩陣 . 解 : 由題意知 B =121 1 11 1 11 1 1 nbbb?????????, 設(shè) kp 為 B 的 k 階順序主子式 , 可求得 第 13 頁(yè) , 共 16 頁(yè) kp = 111( 1) (1 )kk ki ibb b????. 故 ??? ?? 為奇數(shù)為偶數(shù)kkkk ,0p ,0p , 所以 B 是負(fù)定矩陣 . 又 A 是可逆實(shí)矩陣 , 而 AA? 是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 , 由 (4)知 AA? 正定 . 故 AA?? 負(fù)定 , 由于兩負(fù)定矩陣之和為負(fù)定矩陣 . 所以 ()X B A A X??? 是負(fù)定二次型 . 例 3. 設(shè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 A 的特征值全大于 a , 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值全大于 b , 證明 : AB? 的特征值全大于 ab? . 證明 : 由題意知 A aE? 的特征值全大于零 , 故 A aE? 正定 。 同理可知 B bE? 也正定 , 從而 A aE? ? (B bE? )= ()A B a b E? ? ? 是正定矩陣 . 故其特征值全為正數(shù) , 即AB? 的特征值全大于 ab? . 高等代數(shù)課程中對(duì)正定二次型的描述較詳細(xì) , 但對(duì)半正定二次型只提到一條定理 , 且未給予證明 , 下面對(duì)其證明 , 定理內(nèi)容如下 : 對(duì)實(shí)二次型 12( , , , )nf x x x =XAX? (A 是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 ), 下列條件等價(jià) : (1) 12( , , , )nf x x x 是半正定的 。 (2) 它的正慣性指數(shù)與秩相等 。 (3) 存在實(shí)可逆矩陣 C 使 CAC? = 1ndd??????, 其中 0id? , 1,2, ,in? 。 (4) 存在實(shí) 矩陣 C 使 A CC?? 。 (5) A 的所有主子式都不小于零 . 證明 : (1)? (2)設(shè) 12( , , , )nf x x x 的規(guī)范形為 2 2 2 211p p rz z z z?? ? ? ?. r 為二次型 的秩 , 12( , , , )nf x x x 半正定 ? pr? , 即它的正慣性指數(shù)與秩相等 . (1)? (3)與正定二次型的性質(zhì) (3)證明類(lèi)似 . (1)? (4)取 C = 1ndd??????1T? 符合條件 , 其中 T 為 (3)中的矩陣 C . (1)? (5)先證必要性 . 取 A 的任意一個(gè) m 階主子式所對(duì)應(yīng)的矩陣 第 14 頁(yè) , 共 16 頁(yè) mA =1 1 11mm m mi i i ii i i iaaaa, 其對(duì)應(yīng)的二次型為s k s ki i i ia x x?. 令 ix =0( 1,mi i i? ), 代入,1 0nij i jij a x x? ??得s k s ki i i ia x x? 0?. 故存在非退化矩陣 mT 使 m m mT AT? = 1mdd??????, 其中0( 1, , )id i m?? . 故 | | 0( 1, , )mA m n?? 充分性 . 設(shè) A 的第 m 個(gè)順序主子式對(duì)應(yīng)的矩陣為 mA =11 11mm mmaaaa??????( 1, , )mn? 作 ||mmEA? ? =11 12 121 22 212mmm m m ma a aa a aa a a??????, 由行列式性質(zhì)有 ||mmEA? ? = 11mm mpp???? ? ?(其中 ip 是 mA 中一切 i 階主子式的和 ). 由題意知 ip ? 0. 故當(dāng) ? ? 0 時(shí) , 有 ||mmEA? ? 0? . 即 ? ? 0 時(shí) , mmEA? ? 是正定矩陣 . 若 A 不是半正定矩陣 , 則存在非零向量 C , 使 CAC? 0? . 令 CACCC? ??? ? , 則 ? 0? 且( ) 0C E A C?? ??, 與 ? ? 0 時(shí) , mmEA? ? 是正定矩陣矛盾 , 故 A 是半正定矩陣 . 例 4. 證明 : 二次型 12( , , , )nf x x x = 2211()nniiiin x x?????是半正定的 . 證明 : 12( , , , )nf x x x 的矩陣為 A =1111nn??????????, 可求得 ||A =0 且 A 的 i 階主子式為 1( ) 0in i n ???, ( 1, , 1in??), 由上證明知是 12( , , , )nf x x x 是半正定的 . 當(dāng) 12( , , , )nf x x x 是負(fù)定 (半負(fù)定 )二次型時(shí) , 12( , , , )nf x x x? 就是正定 (半正定 )的 . 因此有關(guān)負(fù)定和半負(fù)定二次型的性質(zhì)在此不再敘述 . 第 15 頁(yè) , 共 16 頁(yè) 5 結(jié)束語(yǔ) 與矩陣的秩有關(guān)問(wèn)題 是 高等代數(shù)課程中 極為重要的內(nèi)容 , 每年考研試題中不少題會(huì)涉及 , 上面例題均選自不同學(xué)校的歷年考研題 , 由于矩陣的秩知識(shí)面涉及廣泛 , 欲通過(guò)一篇論文對(duì)其全面研究是很難的 , 本文只對(duì)矩陣的秩有關(guān)問(wèn)題作部分研究 , 但相信通過(guò)本文加深對(duì)矩陣的秩及其相關(guān)問(wèn)題的理解 , 對(duì)更好的掌握高等代數(shù)這門(mén)課程有一定的幫助 . 第 16 頁(yè) , 共 16 頁(yè) 參考文獻(xiàn) [1] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組 . 高等代數(shù) [M]. 北京 : 高等教育出版社 , 2021. 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