有關(guān)線性代數(shù)矩陣問題的解題技巧及在考研中的應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-21 18:05 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ①右乘得 ，式①變形為，再左乘得 ，由于,是正交矩陣，從而是正交矩陣，此即是正交矩陣。類似可知是正交矩陣，故有，兩式相加得。矛盾，即證結(jié)論。解題技巧：利用正交矩陣性質(zhì)的（2）、（3）和正交矩陣的定義來求解。例3 （長春地質(zhì)學(xué)院）設(shè)有二階矩陣，試分別將它們用正交矩陣化為對角矩陣，并求正交矩陣，使。解：因為，所以的特征值為?？汕蟮谜魂囀沟?。 ①又因為，所以的特征值為。也可求得正交陣使得。 ②根據(jù)式①和②得，從而。令，則為正交陣，且。對于實矩陣，若，則稱為實對稱矩陣。注：若為實反對稱矩陣。（1）實對稱矩陣的特征值皆為實數(shù)；（2）實對稱矩陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量必正交；（3）實對稱矩陣可正交相似于對角矩陣，即對于任意一個階實對稱矩陣，都存在一個階正交矩陣，使為對角矩陣；（4）若為實對稱矩陣，則存在可逆矩陣，使得也是實對稱矩陣；（5）若為實對稱矩陣，則存在為實對稱矩陣，使得（例2）。：第一步：求的特征值和對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量。設(shè)是的所有互異特征值，其重數(shù)分別為，且。又設(shè)對應(yīng)特征值的個線性無關(guān)的特征向量為。第二步：當(dāng)時，將特征向量用方法正交化：，再單位化 ，如果，直接將單位化得。第三步：構(gòu)造正交矩陣，則。例1 試求正交的相似變換矩陣，化下列實對稱矩陣為對角矩陣（1）；（2）。解：（1）可求得，的特征值為。對應(yīng)的特征向量分別為，（它們應(yīng)是兩兩正交的）單位化得，，故正交矩陣，使得。（2）可求得，的特征值為。又對應(yīng)的特征值的線性無關(guān)特征向量分別為，將其正交化，再單位化,，對應(yīng)的特征值的特征向量為，單位化得。故正交矩陣，使得。解題技巧:要將實對稱矩陣化為對角矩陣，應(yīng)先通過來求的特征值。若其特征值互異，則可通過解來求對應(yīng)的特征向量，然后直接將其單位化。若某一特征值有重數(shù)，則應(yīng)先將其特征向量正交化，然后再單位化。例2 （北京航空航天大學(xué)）已知，求滿足關(guān)系的實對稱矩陣。解：易解得的三個特征值為1，16, 49，找出這三個特征值的特征向量，然后再單位化并組成正交矩陣，即有(注意到對稱矩陣對應(yīng)于不同的特征值的特征向量必正交，所以這里不需要正交化)，那么有，即有。解題技巧:通過觀察可知其為實對稱矩陣，則存在正交矩陣，使得或，再將對角陣寫成，即可得答案。所以首先應(yīng)求出正交矩陣。因為本題所求出的特征值互異，所以其對應(yīng)特征向量必正交，從而對特征向量直接單位化即可。設(shè)是元實二次型（為實對稱矩陣），如果對任意不全為零的實數(shù)都有，則稱為正定二次型，為正定矩陣。（1）階實對稱矩陣是正定的充分必要條件是與單位矩陣合同；（2）階實對稱矩陣是正定的充分必要條件是，存在階實可逆矩陣，使得；（3）階實對稱矩陣是正定的充分必要條件是的順序主子式都為正，即；（4）階實對稱矩陣是正定的充分必要條件是的特征值全為正；（5）是正定矩陣，由的對稱正定性知，存在正交矩陣，使得，其中。（1）是正定矩陣，則也是正定矩陣（例3）；（2）是正定矩陣，則也是正定矩陣；（3）是正定矩陣，則也是正定矩陣；（4）是正定矩陣，則其階順序主子陣也是正定矩陣；（5）均是正定矩陣，則也是正定矩陣。對于具體給出的矩陣來說：（1）判斷是否為實對稱矩陣。（2）根據(jù)判定條件來判斷（一般通過檢驗的各階順序主子式是否都大于零）。對于抽象給出的矩陣來說：方法1：利用定義：即對任意列向量，恒有二次型，則為正定矩陣（當(dāng)證明若干個矩陣之和或積為正定矩陣時，常采用此法）。方法2：利用特征值：當(dāng)?shù)乃刑卣髦荡笥诹銜r，為正定矩陣（當(dāng)證明矩陣的各種運算，如數(shù)乘、方冪、逆矩陣、伴隨矩陣、多項式矩陣等為正定矩陣，常用此法）。例1 設(shè)為階實對稱且正定，為實矩陣，為的轉(zhuǎn)置矩陣，試證明：為正定矩陣的充分必要條件是的秩。證：（這是要證明三個矩陣之積是正定的，可采用定義證之）充分性：因為，所以為實對稱矩陣。由于，則齊次線性方程組只有零解，從而對于任意實維列向量有。又為正定矩陣，所以對于有。于是，對任意，有，故為正定矩陣。必要性：已知為正定矩陣，則對任意的實維列向量，有，即，由正定知，因此只有零解，從而。解題技巧：要證矩陣正定時，應(yīng)先證其為對稱矩陣，然后在利用正定矩陣的判定條件來進(jìn)行證明。此題證明充分性時，還用到矩陣的秩與其線性方程組的關(guān)系來推出正定矩陣的判定條件。例2 設(shè)為階正定矩陣，為階實反對稱矩陣。證明：是正定矩陣。證：（這是證明兩矩陣之差為正定矩陣，可采用定義證之）因為是正定矩陣，所以，且對任意維實列向量有。又是實反對稱矩陣，即，從而，即是實對稱矩陣，又對任意實維列向量，有。故是正定
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1