有關(guān)線性代數(shù)矩陣問題的解題技巧及在考研中的應(yīng)用畢業(yè)論文(已修改)
2025-07-06 18:05 本頁面
【正文】 線數(shù)考研I第一章 前 言 1第二章 幾種矩陣的判定和應(yīng)用 1 1 1 1 2 2 3 6 6 6 6 7 7 7 8 11 11 12 12 13 13 13： 13 14 16 16 16 17 17 17第三章 矩陣與矩陣之間的關(guān)系和應(yīng)用 21 21 21 21 22 22 24 24 24 24 25 26 26 27 27結(jié)束語 29致謝 29參考文獻(xiàn) 30結(jié)束語第一章 前 言隨著改革開放和現(xiàn)代化建設(shè)事業(yè)的需要，特別是“科教興國”、“知識經(jīng)濟”等戰(zhàn)略性措施日益廣泛實施，國家機關(guān)、企事業(yè)單位以及各行各業(yè)對高素質(zhì)、高學(xué)歷人才的需求量越來越大。同時，隨著高等教育的大眾化，本科人才越來越多，相當(dāng)一部分大學(xué)畢業(yè)生找不到理想工作，很多人希望取得更高的學(xué)歷，以增強自己的競爭實力，因此，近年來，“考研熱”持續(xù)升溫。研究生入學(xué)考試現(xiàn)已成為國內(nèi)影響最大、參加人數(shù)最多的國家級選拔高層次人才的水平考試。然而研究生入學(xué)考試與在校大學(xué)生的期中或期末考試相比，其深度、廣度與難度大大增加，試題綜合性強，著重知識的運用，競爭激烈，淘汰率高。同時，考研作為一種選拔性水平考試，試題規(guī)范，規(guī)律性很強，不少題型反復(fù)出現(xiàn)，把這些反復(fù)出現(xiàn)的試題整理歸類，以節(jié)省考生寶貴的復(fù)習(xí)時間，對考生迎考大有幫助。高等代數(shù)是數(shù)學(xué)類專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課，也是數(shù)學(xué)系碩士研究生入學(xué)考試的一門必考科目，矩陣問題在數(shù)學(xué)系碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題中占有相當(dāng)大的比例。而矩陣不僅是代數(shù)學(xué)的一個主要研究對象，也是高等代數(shù)的很多分支研究問題的工具，它貫穿了整個高等代數(shù)的內(nèi)容。為了幫助考生加深對矩陣知識的理解，掌握有關(guān)矩陣問題的解題方法和技巧，提高應(yīng)試能力，本論文總結(jié)了有關(guān)矩陣的概念、定理，矩陣與矩陣的關(guān)系、性質(zhì)和解題的技巧方法，列舉出數(shù)學(xué)考研有關(guān)矩陣的典型例題。引導(dǎo)考生在較短時間內(nèi)掌握解有關(guān)矩陣問題的要領(lǐng)，并順利通過研究生入學(xué)考試。第二章 幾種矩陣的判定和應(yīng)用設(shè)是數(shù)域上的一個階方陣，如果存在上的階方陣，使得(為階單位矩陣)，則稱是可逆的，又稱為的逆矩陣。當(dāng)矩陣可逆時，逆矩陣由惟一確定，記為。設(shè),是階可逆矩陣，則（1）；（2）若，則可逆，且；（3）可逆，且；（4）可逆，且；（5）可逆，且；（6）；（7）如果是矩陣，是階可逆矩陣，是階可逆矩陣，則。（1）階方陣可逆的充分必要條件是；（2）階方陣可逆的充分必要條件是；（3）階方陣可逆的充分必要條件是可以通過初等變換（特別是只通過初等行（列）變換）化為階單位矩陣；（4）階方陣可逆的充分必要條件是可以寫成一些初等矩陣的乘積；（5）對于階方陣，若存在階方陣，使得（或），則可逆，且；（6）階方陣可逆的充分必要條件是的個特征值不為零。法1：伴隨矩陣法：。2階方陣求逆矩陣：2階方陣的伴隨矩陣具有“主對角元互換，次對角元變號”的規(guī)律。設(shè)2階方陣，矩陣的代數(shù)余子式，。所以，其伴隨矩陣。所以，注：對分塊矩陣不能按上述規(guī)律求伴隨矩陣。法2：初等變換法： 矩陣的階大于或等于3的一般采用初等變換法（1）（2）（3）當(dāng)矩陣可逆時，可利用,優(yōu)點：不需求出的逆矩陣和進行矩陣乘法，僅通過初等變換即可求出。法3：分塊對角矩陣求逆：對于分塊對角（或次對角）矩陣求逆可套用公式： ，其中均為可逆矩陣。例1 （清華大學(xué)）設(shè)為主對角線元素為零的4階實對稱可逆矩陣，為4階單位陣。（1）試計算，并指出中元素滿足什么條件時，為可逆矩陣。（2）當(dāng)可逆時，試證明為對稱矩陣。解：（1）設(shè)，則。故。即當(dāng)時，為可逆矩陣。（2）。由于，所以，即是對稱矩陣，故是對稱矩陣。解題技巧：做本題（1）時，可運用可逆矩陣的充要條件：可逆。做本題（2）時，首先要考慮到對稱矩陣的定義：若是對稱矩陣，則。像是兩矩陣的乘積，應(yīng)將其化為一個矩陣，再利用對稱矩陣的定義來解決。例2 已知，試求和。解：對兩邊取行列式得，于是，即，故。又因為，其中，可求得，故由得。解題技巧：當(dāng)我們看到的伴隨矩陣，首先應(yīng)該考慮采用伴隨矩陣法來求，因為，所以求的關(guān)鍵是求。又由知，可見求得和后即可得到。對于求解，也可利用來求，根據(jù)的特點，可先將化為分塊矩陣的形式，如，再通過初等變換法來求，的逆矩陣即可。例3（武漢大學(xué)）設(shè)矩陣，其中是維列向量，是的轉(zhuǎn)置，又已知。（1）證明: （2）證明: 是可逆矩陣，并求這里是階單位矩陣。證:（1）顯然有（2）顯然可求得為對稱矩陣且的全部特征值為0(重〕，1(1重)。那么不妨設(shè)可逆矩陣使得。 于是有。顯然為可逆矩陣，且有例4 (華中科技大學(xué))設(shè)為階方陣，若存在唯一的階方陣，使得，證明：。分析:注意反證法的應(yīng)用。
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