【文章內(nèi)容簡介】 分析、模式識(shí)別、通信、地震勘測、量子物理、電磁場、機(jī)械工程、流體力學(xué)、分形、光學(xué)、數(shù)值計(jì)算、語音識(shí)別、機(jī)器人視覺等領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用。 連續(xù)小波變換設(shè)是平方可積函數(shù)（記作），是被稱為基本小波[11]或母小波(mother wavelet)函數(shù)。的小波變換如式(21)所示。 (21)式中是尺度因子，反映位移，其值可正可負(fù)。符號(hào)代表內(nèi)積，它的含義（上標(biāo)*代表取共扼）如式(22)所示。 (22)式中是基本小波的位移和尺度伸縮。，和都是連續(xù)變量，因此成為連續(xù)的小波變換（Continuous Wavelet Transform，簡記為CWT）。由以上定義，我們可以看出小波變換和傅立葉變換一樣，也是一種積分變換，為小波變換系數(shù)。我們可以證明，若采用小波滿足容許條件，則連續(xù)小波變換存在著逆變換。連續(xù)小波變換將一維信號(hào)變換到二維空間，因此小波變換中存在多余的信息，我們稱之為冗余度(Redundancy)。因此小波變換的逆變換公式不是惟一的。從小波分析的角度看，是一族超完備基函數(shù)，它們之間是線性相關(guān)的，度量冗余度的量稱為再生核[12]如式(23)，它反映了小波變換的冗余性。 (23)在半平面上各點(diǎn)小波變換的值是相關(guān)的。處的小波變換值可以表示成半平面上其他各處值的“總貢獻(xiàn)”如式(24)所示。 (24)式中如式(25)所示。 (25)式中是小波與的內(nèi)積，反映了兩者的相關(guān)程度。 離散小波變換在實(shí)際應(yīng)用中，為了方便用計(jì)算機(jī)進(jìn)行分析、處理，信號(hào)都要離散化為離散序列，和也必須離散化，稱為離散小波變換，記為DWT(Discrete Wavelet Transform)。為了減小小波變換系數(shù)冗余，我們將小波基函數(shù)的，限定在一些離散的點(diǎn)上取值。1．尺度的離散化。目前通行的辦法是對(duì)尺度進(jìn)行冪數(shù)級(jí)離散化，即令取，此時(shí)對(duì)應(yīng)的小波函數(shù)如式(26)所示。 (26)2．位移的離散化。通常對(duì)進(jìn)行均勻離散取值，以覆蓋整個(gè)時(shí)間軸。為了防止信息的丟失，我們要求采樣間隔滿足Nyquist采樣定理，采樣率大于等于該尺度下頻率通帶的二倍。所以每當(dāng)增加l時(shí)，尺度增加一倍，對(duì)應(yīng)的頻率減小一半，可見采樣率可以降低一半而不致引起信息的丟失（帶通信號(hào)的采樣率決定于其帶寬，而不是決定于其頻率上限）。所以在尺度下，由于的寬度是的，同時(shí)也不會(huì)引起信息的丟失。這樣，就改成如式(27)所示，記為。 (27)離散小波變換定義為如式(28)所示。 (28)在實(shí)際中，我們一般取，這時(shí)。如果采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)，以為坐標(biāo)單位，則的離散值如圖23縱軸所示。圖23 平面二進(jìn)離散柵格 The binary discrete grid of the plane當(dāng)時(shí)，沿軸的相應(yīng)采樣間隔是此時(shí)，如式(29)所示。 (29)我們把軸用歸一化，于是有式(210) (210)此時(shí)，對(duì)應(yīng)的為 多分辨率分析我們把平方可積函數(shù)看成是某一逐級(jí)逼近的極限情況。每級(jí)逼近都是用某一低通平滑函數(shù)對(duì)做平滑的結(jié)果，在逐級(jí)逼近時(shí)平滑函數(shù)也做逐級(jí)伸縮，這就是“多分辨率”，即用不同分辨率來逐級(jí)逼近待分析函數(shù)。函數(shù)空間作逐級(jí)二分解產(chǎn)生一組逐級(jí)包含的子空間，如式(211)所示。 (211)式中是從到的整數(shù)，值愈小空間愈大。當(dāng)時(shí)，函數(shù)空間的劃分如圖24所示?？臻g剖分是完整的，即當(dāng)時(shí)，包含整個(gè)平面可積的實(shí)變函數(shù)空間。當(dāng)時(shí)，即空間最終剖分到空集為止。圖24 函數(shù)空間的剖分 The function space partition這種剖分方式使得空間與空間正交，各個(gè)之間下次也正交，如式(212)所示。 (212)進(jìn)一步要求函數(shù)空間剖分還應(yīng)具有以下兩項(xiàng)特性：1．位移不變性。函數(shù)的時(shí)移不改變其所屬空間，即如果則有式(213)。 (213)2．二尺度伸縮性。如果，則有表達(dá)式(214)。 (214) 子帶平均能量方差子帶平均能量方差的語音端點(diǎn)檢測算法針對(duì)主要由高斯白噪聲[13]組成的背景噪聲提出的一種算法。這種算法根據(jù)高斯白噪聲在小波變換域內(nèi)各個(gè)子帶的平均能量變化平緩的特點(diǎn)來判別語音段和噪聲段。因此該算法利用噪聲與語音頻率特性的不同，采用小波變換作為工具來實(shí)現(xiàn)語音端點(diǎn)檢測。 噪聲與語音的頻域差異在語音的通信和處理過程中，常伴隨有噪聲的加入。由此看來，分析與研究語音信號(hào)的處理，總離不開對(duì)信號(hào)與噪聲的分析。信號(hào)在傳播過程中會(huì)被各種加性噪聲所干擾，加性噪聲雖然獨(dú)立于有用信號(hào)，但它卻始終干擾有用信號(hào)，因而不可避免地對(duì)語音信號(hào)造成危害。加性噪聲（簡稱噪聲）的來源，一般可分為人為噪聲、自然噪聲和內(nèi)部噪聲。人為噪聲來源于由人類活動(dòng)造成的其他信號(hào)源，例如：外臺(tái)信號(hào)、開關(guān)接觸噪聲、工業(yè)的點(diǎn)火輻射及熒光燈干擾等；自然噪聲是指自然界存在的各種電磁波源，例如：閃電、大氣中的電暴、銀河系噪聲及其他各種宇宙噪聲等；內(nèi)部噪聲是系統(tǒng)設(shè)備本身產(chǎn)生的各種噪聲，例如，在電阻一類的導(dǎo)體中自由電子的熱運(yùn)動(dòng)（常稱熱噪聲）、真空管中電子的起伏發(fā)射和半導(dǎo)體中載流子的起伏變化（常稱為散彈噪聲）及電源哼聲等[14]。某些類型的噪聲是確知的，例如電源哼聲、自激振蕩、各種內(nèi)部的諧波干擾等。雖然消除這些噪聲不一定很容易，但至少在原理上可消除或基本消除。另一些噪聲則往往不能準(zhǔn)確預(yù)測其波形。這種不能預(yù)測的噪聲統(tǒng)稱為隨機(jī)噪聲。隨機(jī)信號(hào)與隨機(jī)噪聲均可歸納為依賴于時(shí)間參數(shù)的隨機(jī)過程，這種過程的基本特征是，它是時(shí)間的函數(shù)，但在任一時(shí)刻上觀察到的值卻是不確定的，是一個(gè)隨機(jī)變量。隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性是通過它的概率分布或數(shù)字特征加以表述的。表示一個(gè)隨機(jī)過程，則在任意一個(gè)時(shí)刻上是一個(gè)隨機(jī)變量。顯然，這個(gè)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)去描述，我們稱式(215)為隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)。 (215)如果存在式(216)，則稱為的一維概率密度函數(shù)。 (216)在一般情況下用一維分布函數(shù)去描述隨機(jī)過程的完整統(tǒng)計(jì)特性是極不充分的，通常需要在足夠多的時(shí)刻上考慮隨機(jī)過程的多維分布函數(shù)。的維分布函數(shù)被定義如式(217)所示。 (217)如果存在則稱其為的維概率密度函數(shù)。顯然，越大，用維分布函數(shù)或維概率密度函數(shù)去描述的統(tǒng)計(jì)特性就越充分[15]。在信號(hào)處理中占重要地位的一種類型的隨機(jī)過程是平穩(wěn)隨機(jī)過程，所謂平穩(wěn)隨機(jī)過程，即指它的任何維分布函數(shù)或概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)。也就是說，如果對(duì)于任意的正整數(shù)和任意實(shí)數(shù)，隨機(jī)過程的維概率密度函數(shù)滿足式(218)，則稱是平穩(wěn)隨機(jī)過程。由此可見，平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性將不隨時(shí)間的推移而不同。 (218)隨機(jī)噪聲中的起伏噪聲是熱噪聲，散彈噪聲以及宇宙噪聲為代表的噪聲。起伏噪聲的特點(diǎn)是，無論在時(shí)域內(nèi)還是在頻域它們總是普遍存在和不可避免的，它們是信號(hào)中存在的主要噪聲。實(shí)踐證明起伏噪聲服從高斯分布律，且在一般的工作頻率范圍內(nèi)，它具有平坦的功率譜密度。所以它被近似的表述為高斯白噪聲。所謂高斯過程，即指定它的任意維概率密度如式(219)所示。 (219)式中 (220)為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，如式(221)所示。 (221)行列式中元素的代數(shù)余因子，如式(222)所示。歸一化協(xié)方差函數(shù)，如式(222)所示。 (222)由上式可以看出，由于正態(tài)隨機(jī)過程的維分布僅由各隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決定[16]。所以如果過程是寬平穩(wěn)的，即其均值與時(shí)間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，則它的維分布也與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，故它也是嚴(yán)平穩(wěn)的。屬于平穩(wěn)隨機(jī)噪聲的高斯白噪聲是自然界存在最普通的噪聲也是不可避免噪聲，因此實(shí)現(xiàn)它與語音的區(qū)分對(duì)于端點(diǎn)檢測的實(shí)現(xiàn)具有決定性的意義。一般來說，信號(hào)所含的噪聲都可看作是平穩(wěn)的高斯白噪聲。由高斯白噪聲特點(diǎn)可知，該噪聲在相當(dāng)寬的頻率范圍內(nèi)具有平坦的功率譜密度。因此信號(hào)在各個(gè)頻段內(nèi)的信號(hào)能量分布均勻。平穩(wěn)隨機(jī)噪聲的幅頻特性如圖25所示。與之相反語音信號(hào)的能量主要分布于低頻部分，在整個(gè)頻率區(qū)間內(nèi)能量分布起伏較大。這就為我們進(jìn)行端點(diǎn)檢測提供了可行的方法。即利用語音與噪聲在各個(gè)頻段內(nèi)的平均能量的方差可以判別出語音段與噪聲段。在語音段，由于信號(hào)能量主要分布于低頻部分，所以各個(gè)頻段平均能量的方差較大。在噪聲段，由于高斯白噪聲能量變化平緩，分布相對(duì)平均，所以各個(gè)頻段的能量方差較小。語音的幅頻特性如圖26所示。比較圖25與圖26可明確的看出語音與噪聲在頻域存在很大的差異，而以小波分析為工具，利用這一特點(diǎn)進(jìn)行端點(diǎn)檢測，也正是本節(jié)所介紹的一種基于子帶平均能量的端點(diǎn)檢測方法。圖25 平穩(wěn)隨機(jī)噪聲的幅頻特性 amplitudefrequency characteristic of stationary random process圖26 語音的幅頻特性 The amplitudefrequency characteristic of speech 利用小波分析進(jìn)行端點(diǎn)檢測1．Daubechies(dbN)小波。Daubechies小波是由世界著名的小波分析學(xué)者Inrid Daubechies構(gòu)造的小波函數(shù)，我們一般簡寫成，是小波的階數(shù)。小波和尺度函數(shù)中的支撐區(qū)[17]為，的消失矩為（除外），不具有對(duì)稱性（即非線性相位）。沒有明確的表達(dá)式（除外），但轉(zhuǎn)換函數(shù)的平方模[18]是很明確的。令，其中，為二項(xiàng)式的系數(shù)，得式(223)。 (223)式中。2．算法原理。根據(jù)第二節(jié)所介紹的小波變換原理可知，小波變換相當(dāng)于信號(hào)通過的一系列低通和高通濾波器，所得的小波子帶系數(shù)分別代表了不同頻率段信號(hào)的能量分布，如圖27所示。圖27 小波分析的頻域劃分 The frequency domain partition of wavelet analyze該圖表示對(duì)一個(gè)信號(hào)進(jìn)行了三層小波變換，和是經(jīng)過三層小波變換后得到的小波子帶，其中，和從高到低依次為小波變換后得到的原信號(hào)的高頻信息，為小波變換后得到的原信號(hào)的低頻信息。根據(jù)上一節(jié)的分析可以確定語音信號(hào)在各個(gè)子帶內(nèi)的平均能量分布不均，信號(hào)的能量主要集中在低頻子帶[19]內(nèi)。而噪聲在各個(gè)子帶內(nèi)的平均能量分布均勻。計(jì)算各層小波系數(shù)的平均能量，如式(224)所示。 (224)式中表示小波層數(shù)，表示第層所含的小波系數(shù)的數(shù)量，表示第層第個(gè)小波系數(shù)。計(jì)算各級(jí)小波系數(shù)平均能量的均值，如式(225)所示。 (225)式中表示小波層數(shù)。然后選取方差作為特征參數(shù)來表示各個(gè)小波子帶平均能量的差異，計(jì)算各個(gè)子帶平均能量的方差，如式(226)所示。 (226)下面我們以一段如圖28所示的語音信號(hào)作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。圖28 語音信號(hào)波形圖 The plot of the speech signal首先給該段語音加入15db的高斯白噪聲，形成待測信號(hào)，如圖29所示。根據(jù)式(26)，選取db3作為小波基函數(shù)對(duì)待測信號(hào)進(jìn)行四層小波變換，得到小波系數(shù)。然后經(jīng)過式(224)、(225)和(226)的計(jì)算得到所求的方差參數(shù)。計(jì)算所得的帶噪語音相對(duì)應(yīng)的子帶平均能量方差如圖210所示。圖29與圖210進(jìn)行比較可明顯看出檢測效果比較明顯，在采用一定閾值判定后可以精確的檢測出語音的端點(diǎn)。在Windows操作系統(tǒng)下使用MATLAB進(jìn)行算法仿真，仿真成功后編程實(shí)現(xiàn)。實(shí)驗(yàn)所用的語音數(shù)據(jù)為4秒到7秒不等的160句英文語音，把它們隨機(jī)的分為三組，分別包含10句、50句和100句語音。根據(jù)各自語音信號(hào)的能量把它們加入相應(yīng)不同能量的高斯白噪聲，加入后的語音信噪比分別為15db、10db和0db，用不同信噪比下的語音信號(hào)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。圖29帶噪語音信號(hào) Speech signal containing noise圖210 信號(hào)平均能量方差 The average power variance of signal 具體實(shí)驗(yàn)步驟如下：1．對(duì)系統(tǒng)用到的所有語音信號(hào)進(jìn)行數(shù)據(jù)采樣，由于語音信號(hào)主要集中在5kHz以下。語音采樣后進(jìn)行分幀處理，幀長為20ms，220個(gè)點(diǎn)，幀移10ms，110個(gè)點(diǎn)。記為，D為幀的總數(shù)。2．對(duì)第幀進(jìn)行5層的小波變換，所得的小波系數(shù)記為（表示第層的第個(gè)小波系數(shù)()）。在本論文中進(jìn)行小波處理后得到的包含低頻率信息的小波系數(shù)記為第6層小波系數(shù)。而高頻子帶中，值從小到大頻率依次降低。3．通過式(224)、(225)、(226)分別進(jìn)行計(jì)算，得到方差參數(shù)，取前三幀語音的參數(shù)，的平均值的2倍作為閾值。如果大于閾值則標(biāo)識(shí)此幀為語音，否則標(biāo)識(shí)此幀為噪聲。為了增加算法的精度，對(duì)閾值進(jìn)行自適應(yīng)處理。每當(dāng)信號(hào)從語音段進(jìn)入噪聲段時(shí)，重新取三幀語音的參數(shù)的平均值作為閾值。4．如果則算法結(jié)束，否則返回到第2步。5．當(dāng)所有的幀被分別標(biāo)記后，對(duì)所得的結(jié)果進(jìn)行處理。持續(xù)幀長的確定是由具體的實(shí)驗(yàn)結(jié)果來決定的，本方法根據(jù)實(shí)驗(yàn)取的經(jīng)驗(yàn)值，規(guī)定最小語音持續(xù)幀長為8幀，最小噪聲持續(xù)幀長為4幀，一些界限如小于被定義的最小持續(xù)時(shí)間時(shí)就被舍棄。6．對(duì)所得的結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果進(jìn)行比較以得到檢測率。標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果為在不加入噪聲的基礎(chǔ)上對(duì)語音進(jìn)行手工標(biāo)記所得。