【文章內容簡介】 ①或??? ??? 202tt ② 解①得 02 ??? t ，解②得 0?t ，所以 2??t 。于是 2)( ??af ，此等價于??? ???? 2,02 aaa ③ 或??? ??? ? 2,02aa ④ ，解③得 0?a ，解④得 20 ??a ,所以2?a . 例 2.（ 2020 湖北卷） )(xf 是定義在 R 上的奇函數，當 0?x 時，)32(21)( 222 aaxaxxf ????? 。 若 )()1(, xfxfRx ???? ， 則實數 a 的取值范圍為（ ） ??????? 61,61A ????????? 66,66B ??????? 31,31C ????????? 33,33D 分析：本題考查分段函數、函數的奇偶性、函數的圖像、不等式恒成立問題、一元一次不等式以及分類討論、數形結合、轉化與化歸的數學思想，難度較大。 解：因為當 0?x 時， )32(21)( 222 aaxaxxf ????? , 所以當 20 ax ?? 時， xaxaxaxf ??????? )32(21)( 222 ； 當 22 2axa ?? 時， )32(21)( 222 axaaxxf ????? ； 當 2ax? 時， 23)( axxf ?? ，綜上，??????????????2222222,32,0,)(axaxaxaaaxxxf 因此，根據奇函數的圖像關于原點對稱作出函數 在 R 上的大致圖像，觀察圖像可知，要使 )()1(, xfxfRx ???? ,則需滿足 1)4(2 22 ??? aa ，解得 6666 ??? x. 例 3.（ 2020 上海卷） a 為實常數， )(xfy ? 是定義在 R 上的奇函數，當 0?x 時，79)( 2 ??? xaxxf .若 1)( ?? axf 對一切 0?x 成立，則 a 的取值范圍為 ________ 分析：本題考查函數的奇偶性及函數不等式的求解問題，其中運用了分類討論思想，難度中等。 解： )(xfy ?? 是定義在 R 上的奇函數， )()( xfxf ???? ，且當 0?x 時， 0)0( ?f ，此時由 1)( ??axf 得 10 ??a ，解得 1??a ，當 0?x 時，79)()( 2 ?????? xaxxfxf ，此時由 1)( ?? axf 得 179 2 ???? axax ，由此不等式恒成立及 axaxxax 692922 ???? ,（當且僅當 ax ?3 時等號成立）可得86 ?? aa ，結合 1??a ，可得 86 ??? aa ，解得 78??a ，綜上得 a 的取值范圍為???? ?????? 78, . 例 4.（ 2020 北京卷） 22)(),3)(2()( ?????? xxgmxmxmxf ,若同時滿足條件： ① 0)(或0)(, ???? xgxfRx ② 0)()(),4,( ?????? xgxfx 則 m 的取值范圍是 ________ 析：本題考查一元二次不等式的解法、方程根的分布及數形結合與分類討論思想的運用，考查學生的綜合分析與轉化能力，難度較大。 解：由于當 1?x 時， 022)( ??? xxg ；當 1?x 時， 0)( ?xg ，故據題意得只需當 1?x時， 0)3)(2()( ????? mxmxmxf 即可，當 0?m 時，二次函數開口方向向上，不符合 1?x 時， 0)( ?xf ，故必有 0?m ，結合二次函數圖像只需兩根3,2 21 ???? mxmx 滿足????????????0131221mmxmx 即可，解得 04 ??? m ，對于條件②，由于 0)(,4 ??? xgx ，故只需當 4??x 時， x? 使得 0)3)(2()( ????? mxmxmxf即可，此時應使得 4? 比方程兩根 3,2 21 ???? mxmx 中的小根大即可，當 01 ??? m時，只需 43 ???? m ，解得 1?m ，不符合條件舍去；當 1??m , 221 ??? xx 不符合題意，當 42,1 ???? mm ,解得 2??m ，綜上得： m 的取值范圍是 24 ???? m . 分類討論思想在導數中的應用 一般來說，此類題目所占分值較大，常出現在高考壓軸題，難度普遍較大。此類題目一般可以分為兩類，含參變量和不含參變量。含參變量題目難度一般較大。 例 1.（ 2020 年北京卷） ????????? 2,0,sincos)( ?xxxxxf （ 1）求證： 0)( ?xf （ 2） 若 bx xa ?? sin 對 )2,0( ??x 恒成立，求 a 的最大值與 b 的最小值 . 分析：第一問很簡單，考生很容易做出來。第二問有點難度，要進行分類討論。 解：（ 2）當 0?x 時， x xa sin? 等價于 0sin ?? axx ， bx x ?sin 等價于 0sin ?? bxx 令 cxxxg ?? sin)( 則 cxxg ??? cos)( 當 0?c 時， 0)( ?xg 對任意 )2,0( ??x 恒成立。 當 1?c 時，對任意 )2,0( ??x ， 0cos)( ???? cxxg ， 所以 )(xg 在區(qū)間 ?????? 2,0?上單調遞減。從而 0)0()( ?? gxg 對任意 )2,0( ??x 恒成立。 當 10 ??c 時，存在唯一的 )2,0(0 ??x，使得 0cos)( 00 ???? cxxg 因為 )(xg 在區(qū)間 ? ?0,0x 上是增函數，所以 0)0(）( 0 ?? gxg ，進一步， “ 0)( ?xg 對任意)2,0( ??x 恒成立” ，當且僅當 021)2( ??? cg ?? ，即 ?20 ?? c . 綜上所述，當且僅當 ?2?c 時， 0)( ?xg 對任意 )2,0( ??x 恒成立。 當且僅當 1?c 時， 0)( ?xg 對任意 )2,0( ??x 恒成立。 所以， 若 bx xa ?? sin 對 )2,0( ??x 恒成立 ，則 a 的最大值為 ?2 ， b 的最小值為 1. 例 2.（ 2020 年浙江卷） )(3)( 3 Raaxxxf ???? （ 1） 若 ）(xf 在 ? ? 上的最大值和最小值分別記為 ),(),( amaM 求 ）()( amaM ? ； （ 2） 設 Rb? . 若 ? ? 4)( 2 ?? bxf 對 ? ?1,1??x 恒成立 ，求 ba?3 的取值范圍。 分析：本題主要考查函數的最大 (最小 )值的概念、利用導數研究函數的單調性等基礎知識，同時考查推理論證、分類討論（多級分類討論）、分析問題和解決問題等綜合解題能力。 解 ：（ 1 ）因?????? ???? axaxx axaxxxf ,33 ,33)( 33 ， 所以????? ???? axx axxxf ,33 ,33)( 22 由于11 ??? x ， （ i） 當 1??a 時，有 ax? ，故 axxxf 33）( 3 ??? ，此時 )(xf 在 ? ?1,1? 上是增函數，因此， afaM 34)1(）( ??? ， afam 34)1()( ????? ， 所以 8)()( ?? amaM . （ ii） 當 11 ??? a 時，若 )1,(ax ? ， axxxf 33)( 3 ??? ，在 )1,(a 上是增函數； 若 ),1( ax ?? ， axxxf 33)( 3 ??? ，在 ),1(a? 上 是 減 函 數 。所以? ?)1(),1(max)( ?? ffaM ， 3）()( aafam ?? .由于 26)1()1( ????? aff ，因此當311 ??? a 時， 43)()( 3 ????? aaamaM ，當 131 ??a 時，23)()( 3 ????? aaamaM （ iii） 當 1?a 時，有 ax? ，故 axxxf 33)( 3 ??? ，此時 )(xf 在 ? ?1,1? 上是減函數，因此 4)1()1()()( ????? ffamaM . 綜上得：?????????????????????????1,4131,23311,431,8)()(33aaaaaaaaamaM