【正文】 EY WORDS Classification discussion。 standard。 principle。 application。 teaching strategies 目錄 中文摘要 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． I 英文摘要 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． II 目錄 ．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． III 引言 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1 1 簡(jiǎn)述分類討論思想 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2 2 分類討論思想的標(biāo)準(zhǔn)和原則 ．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ． 3 3 分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 ．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．． 3 分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用 ．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3 分類討論思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用 ．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 分類討論思想在數(shù)列上的應(yīng)用 ．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8 分類討論思想在排列組合中的應(yīng)用 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．． 10 分類討論在最優(yōu)方案問(wèn)題中的應(yīng)用 ．．．．．． ．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10 4 分類討論的教學(xué)策略 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11 5 總結(jié) ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12 參考文獻(xiàn) ．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12 致謝 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．． 14 引言 數(shù)學(xué)分類討論既是一種重要 的數(shù)學(xué)思想，又是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)中常表現(xiàn)為數(shù)學(xué)分類討論法。分類討論思想是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，關(guān)于分類討論的題目一般來(lái)說(shuō)都有一定的難度，成為歷年高考的寵兒，經(jīng)常出現(xiàn)在壓軸題?？忌捎诳紤]不周，而導(dǎo)致失分現(xiàn)象嚴(yán)重。所以探究分類討論這一數(shù)學(xué)思想是有實(shí)際意義的。通過(guò)對(duì)近些年數(shù)學(xué)高考試卷的研究，發(fā)現(xiàn)分類討論思想在以下幾個(gè)方面的應(yīng)用最為明顯： 類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用。 。 列中的應(yīng)用。 。 。此外，分類討論的題目在高考中占有一定比例，通過(guò)對(duì)近 5 年浙江、上海、北京、湖南、湖北五地的高考試卷分類討論題型的總結(jié)，發(fā)現(xiàn)每年各地至少有兩道是分類討論題目，分值占到 20 分左右。而近年來(lái)，湖北高考卷分類討論題目特別多，很多大題都要進(jìn)行分類討論，因此分類討論思想非常重要。對(duì)分類討論的研究有助于提高考生在此類題的得分率。 表（一） 歷年數(shù)學(xué)高考 （浙江卷）分類討論 題型分析（理科卷） 2020 2020 2020 2020 2020 選擇題 0 3 1 0 0 填空題 1 0 0 0 1 解 答題 2 1 1 2 1 表（二） 歷年數(shù)學(xué)高考 （上海卷）分類討論 題型分析（理科卷） 2020 2020 2020 2020 2020 選擇題 0 0 0 1 0 填空題 1 0 1 1 0 解 答題 1 2 1 1 2 表（ 三 ） 歷年數(shù)學(xué)高考 （北京卷）分類討論 題型分析（理科卷） 2020 2020 2020 2020 2020 選擇題 0 0 1 0 0 填空題 0 1 1 0 0 解 答題 2 2 1 1 2 表（ 四 ） 歷年數(shù)學(xué)高考 （湖南卷）分類討論 題型分析（理科卷） 2020 2020 2020 2020 2020 選擇題 1 1 0 0 0 填空題 0 1 1 1 0 解 答題 3 2 2 2 2 表（ 五 ） 歷年數(shù)學(xué)高考 （湖北卷）分類討論 題型分析（理科卷） 2020 2020 2020 2020 2020 選擇題 0 1 0 0 1 填空題 0 2 0 0 0 解 答題 2 3 3 3 4 1 簡(jiǎn)述分類討論思想 每個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論 都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用范圍，在我們所遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有些問(wèn)題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問(wèn)題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究，還有些問(wèn)題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣字母的取值不同也會(huì)影響問(wèn)題的解決，由上述幾類問(wèn)題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的，即把所有研究的問(wèn)題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問(wèn)題來(lái)解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學(xué)思想，稱之為分類討論思想。 歐陽(yáng)獻(xiàn)忠和周紹云在 2020 年 12 月發(fā)表在宜春學(xué)院學(xué)報(bào)上有一 文《數(shù)學(xué)教學(xué)中的分類 討論及其應(yīng)用》。該文從以下幾個(gè)方面對(duì)分類討論方法進(jìn)行了闡述 :（ 1）分類討論在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位和作用。（ 2）分類討論在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用原則。（ 3）分類討論的步驟及要注意的問(wèn)題。（ 4）小結(jié)部分。就第二點(diǎn)，他們展開(kāi)了如下闡述： a) 確定分類對(duì)象。 b) 確定分類標(biāo)準(zhǔn)，科學(xué)合理地分類。 c) 逐類求解或證明。 d） 歸納、總結(jié)問(wèn)題的結(jié)論。 e） 多級(jí)分類討論。這篇文章較為系統(tǒng)的對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)分類討論問(wèn)題進(jìn)行了研究，尤其是在含參變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題需要分類討論的時(shí)候，研究的十分透徹。唯一的瑕疵在于多級(jí)分類討論部分缺 乏強(qiáng)有力的例題作為應(yīng)證，舉得例子范圍比較狹窄。 而江西科技師范學(xué)院的萬(wàn)志珍在《淺析中學(xué)數(shù)學(xué)中的分類討論思想方法》的畢業(yè)論中，從以下幾個(gè)方面對(duì)分類討論思想進(jìn)行了闡述： 。 及分類討論的步驟、原則和方法。 。 。就第三點(diǎn)，她展開(kāi)了如下闡述： a）由絕對(duì)值引起的分類討論。 b）由不等式引起的分類討論。 c)由等比數(shù)列前 項(xiàng)和公式引起的分類討論。 d）由排列組合等問(wèn)題引起的分類討論。 e）由大小關(guān)系引起的分類討論。 f）圓錐曲線的 統(tǒng)一定義引起的討論。 2 分類討論思想的標(biāo)準(zhǔn)和原則 分類討論思想的標(biāo)準(zhǔn)：一般地，在集合 A 上討論某一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可以根據(jù)某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)P ，把 A 劃分為子類 ,..., 21 nAAA 這時(shí)，在 ,..., 21 nAAA 上實(shí)施對(duì)問(wèn)題的討論等價(jià)于在 上實(shí)施對(duì)問(wèn)題的討論，把 P 稱為分類討論的標(biāo)準(zhǔn)。 分類討論思想的原則： （ 1） 同一性原則：分類應(yīng)該按照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，即每次分類不能同時(shí)使用幾個(gè)不同的分類依據(jù)。 例如把三角形分為直角三角形，銳角三角形，鈍角三角形和等腰三角形就不符合同一性原則，因?yàn)橛昧藘蓚€(gè)不同的原則。 （ 2）互斥性原則：分類后的每個(gè)子項(xiàng)應(yīng)互不相容，即要做到每個(gè)子項(xiàng)相互排斥，分類后不能有些元素既屬于這個(gè)子項(xiàng)，又屬于那個(gè)子項(xiàng)。例如將三角形分為等腰三角形和等邊三角形不符合互斥性原則，因?yàn)樽禹?xiàng)不互斥。 （ 3）層次性原則：分類有一次分類和多次分類之分，一次分類是對(duì)被討論 對(duì)象只進(jìn)行分類一次；多次分類是把分類后的所有子項(xiàng)作為母項(xiàng)，再進(jìn)行分類，直到滿足需要為止。例如對(duì)不等式 01)1(2 ???? xaax 的解的討論，要進(jìn)行多次分類討論。先對(duì) a 是否等于 0 進(jìn)行第一次討論，當(dāng) 0?a 時(shí)，又可以分為 0?a 和 0?a 進(jìn)行第二次討論。當(dāng) 0?a 時(shí)，又可以對(duì)兩根的大小進(jìn)行第三次討論。 3 分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用 一般來(lái)說(shuō)，此類題目所占分值不大，常常出現(xiàn)在選擇填空題，考查的數(shù)學(xué)思想比較廣泛，分類討論思想和換元思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想通常要結(jié)合使用。 例 1.（ 2020 年浙江卷） ????? ??? 0, 0,)( 22xx xxxxf ，若 2))(( ?aff ，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ________ 分析：本題考查分段函數(shù)的知識(shí)，考查分段函數(shù)背景下求解不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)換的能力，以及分類討論和換元的數(shù)學(xué)思想方法，難度中等。 解：令 ),(aft ? 則 2)( ?tf ，等價(jià)于??? ??? 202 ttt