畢業(yè)論文-琴弦振動(dòng)泛音的分析及應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-03-12 08:25 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 u α （ 9） （ 2） 弦振動(dòng)泛定方程及一般解 設(shè)弦長(zhǎng)為 l，稱為有效長(zhǎng)度，如圖 3 所示， O,A 為兩個(gè)固定點(diǎn)， lOA? ，當(dāng)其自由振動(dòng)時(shí)，略去其他共振性能，則琴弦的泛定方程及有關(guān)條件為： ouu xxtt ?? 2α ? ? ? ? 0,0,0u ?? tlut 0,0 ??? tlx ? ? ? ? ? ?xxux 00 0,0,u ??? 其中 T為弦上的張力， ρ 為單位長(zhǎng)度弦的質(zhì)量，即線密度。 7 圖 3 兩端固定弦的坐標(biāo) 用分離變量法求得解為： ? ? ? ?? ?uxs i nCuxc o sCtus i nBtc o s, 21 ??? αα 、 uAtxu （ 10） 由邊界條件 ? ? ? ? 0,00u ?? tlut， ，得： 0C1? 由邊界條件 ? ? ? ?00s in,0,u 2 ??? Cultl 即 ?nul? n=1， 2， 3? （ 11） 上式中，如果 0C2? 則 ? ? 0, ?txu 沒有討論意義。故 2C 為不為 0 的常數(shù)，由于其取值不影響我們對(duì)弦振動(dòng)的討論，為簡(jiǎn)單起見本文取 1C2? 。 由（ 11）式可知 222lnu ?? 因此，兩端固定的弦上存在的駐波是： ? ? xlntlnBlnAtxu nnn ??? s i ns i nc os, ?????? ?? α （ 12） 可改寫為： ? ? ?????? ??? nnn tlnxlnCtxu ??? αc oss i n, （ 13） 上式中 lα?n 即是角頻率 n? 8 根據(jù) nn v?? 2? 以及 ?T?α可以得到 ?Tlnvn 2? 令lnk nnn ???? ??? α2 （ 14） n? 為波長(zhǎng)。因此，式（ 12）、（ 13）可改寫為 ? ? xktBtAu nnnnnn s i ns i nc o s ?? ?? （ 15） ? ?nnnnn txkCu ?? ?? c o ss in （ 16） 由上式可知： 當(dāng)弦振動(dòng)頻率是一組不連續(xù)且有無(wú)限多個(gè)數(shù)值 當(dāng) n=1 時(shí) ?Tlf 211 ?是弦的最低頻率，其對(duì)應(yīng)的有效弦長(zhǎng) l ,稱為弦的基頻， n1 振動(dòng)頻率稱為泛頻，例如 n=2 的頻率 2f 稱 弦的第一泛頻，對(duì)應(yīng)的有效弦長(zhǎng)為 21 振動(dòng)時(shí)各種振動(dòng)并不是單獨(dú)存在的，總的振動(dòng)時(shí)由無(wú)數(shù)個(gè)振動(dòng)迭加形成的。而各個(gè)振動(dòng)又是相對(duì)獨(dú)立的，可以分別以數(shù)學(xué)方法處理并迭加起來(lái)。從數(shù)學(xué)上看，每種振動(dòng)都是方程的一個(gè)特解。由于方程式線性齊次的，因此方程的一般解是所有振動(dòng)方式的線性迭加，因此，弦振動(dòng)的總方程為： ? ? ? ?nnnn n txkCtxu ?? ?? ??? c oss i n, 1 （ 17） ? ? ? ? xktBtAtxunn nnnn s i ns i nc os, 1??? ?? ?? （ 18） （ 3） 弦振動(dòng)振幅的規(guī)律 ① 弦振動(dòng)振幅的相關(guān)方程 為了得到各種振動(dòng)的振幅，可根據(jù)方程計(jì)算待定系 An以及 Bn ? ?????? ????????1010s ins innnnnnnnkAxuxkB ?? （ 19） 對(duì)上式兩邊分別乘以 xdxknsin ，并從 0到 l 積分有 9 ? ?? ?????? ??nlnlnnkxuflx d xkxflBs in2As in200n00 ?? （ 20） 因此，只要知道 )(x? 和 )(x? ，就可以得到待定系數(shù) nA ， Bn 根據(jù)公式： ??? ??nnnnnnCACB??c oss in （ 21） 可以得到 Cn和 n? ，則弦的振動(dòng)就可以確定了。 ② 弦振動(dòng)的具體計(jì)算 在弦樂器的演奏中， l 是長(zhǎng)度因人而異，這里取 cml 30? ，琴一端至手指撥動(dòng)點(diǎn) G的距離一般為 5cm 左右，位置 G距 O為 25cm，設(shè)開始時(shí) G 點(diǎn)被撥開 u0，之后才開始振動(dòng)，如圖四所示。 圖 4 琴弦的初 始狀態(tài) 則具體的初始條件為： ?????? ?????????? ?650,5665,600)(lxxlulxllxluaxu （ 22） ? ? lxtux t ?????? ? 0,000? （ 23）
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