畢業(yè)論文-琴弦振動(dòng)泛音的分析及應(yīng)用-文庫(kù)吧資料
2025-02-12 08:25本頁(yè)面
【正文】 弦上存在著 n=1 到 n=8 的振動(dòng)方式 各種振動(dòng)的振幅按 n的大小依次遞減，在 l 長(zhǎng)度范偉內(nèi)各有 個(gè)周期圖像 如果用某種方法抑制掉振幅較大的振動(dòng)，保留 n較高的振動(dòng)，則會(huì)出現(xiàn)新的聽(tīng)覺(jué)效果。 為得到各次振幅的幾何圖像，把弦上各質(zhì)點(diǎn)振幅進(jìn)行比較，可把各次振動(dòng)分別畫(huà)出。 圖 4 琴弦的初 始狀態(tài) 則具體的初始條件為： ?????? ?????????? ?650,5665,600)(lxxlulxllxluaxu （ 22） ? ? lxtux t ?????? ? 0,000? （ 23） 把（ 22）和（ 23）式代入（ 21）式得 10 ? ? ?? nn ux d xklxlfudxkxfluldxkxuflxA nl lnlnlon 65s i n5 72s i n6s i n652s i n2 22 06506500 ??????? ?????? ???? （ 24） ? ? 0s in2B 00 ?? x dxkxfl nln ?? （ 25） 把由（ 23）算的 An 值填入表 是初始時(shí)刻弦被拉開(kāi)的位移。由于方程式線性齊次的，因此方程的一般解是所有振動(dòng)方式的線性迭加，因此，弦振動(dòng)的總方程為： ? ? ? ?nnnn n txkCtxu ?? ?? ??? c oss i n, 1 （ 17） ? ? ? ? xktBtAtxunn nnnn s i ns i nc os, 1??? ?? ?? （ 18） （ 3） 弦振動(dòng)振幅的規(guī)律 ① 弦振動(dòng)振幅的相關(guān)方程 為了得到各種振動(dòng)的振幅，可根據(jù)方程計(jì)算待定系 An以及 Bn ? ?????? ????????1010s ins innnnnnnnkAxuxkB ?? （ 19） 對(duì)上式兩邊分別乘以 xdxknsin ，并從 0到 l 積分有 9 ? ?? ?????? ??nlnlnnkxuflx d xkxflBs in2As in200n00 ?? （ 20） 因此，只要知道 )(x? 和 )(x? ，就可以得到待定系數(shù) nA ， Bn 根據(jù)公式： ??? ??nnnnnnCACB??c oss in （ 21） 可以得到 Cn和 n? ，則弦的振動(dòng)就可以確定了。而各個(gè)振動(dòng)又是相對(duì)獨(dú)立的，可以分別以數(shù)學(xué)方法處理并迭加起來(lái)。 由（ 11）式可知 222lnu ?? 因此，兩端固定的弦上存在的駐波是： ? ? xlntlnBlnAtxu nnn ??? s i ns i nc os, ?????? ?? α （ 12） 可改寫(xiě)為： ? ? ?????? ??? nnn tlnxlnCtxu ??? αc oss i n, （ 13） 上式中 lα?n 即是角頻率 n? 8 根據(jù) nn v?? 2? 以及 ?T?α可以得到 ?Tlnvn 2? 令lnk nnn ???? ??? α2 （ 14） n? 為波長(zhǎng)。 7 圖 3 兩端固定弦的坐標(biāo) 用分離變量法求得解為： ? ? ? ?? ?uxs i nCuxc o sCtus i nBtc o s, 21 ??? αα 、 uAtxu （ 10） 由邊界條件 ? ? ? ? 0,00u ?? tlut， ，得： 0C1? 由邊界條件 ? ? ? ?00s in,0,u 2 ??? Cultl 即 ?nul? n=1， 2， 3? （ 11） 上式中，如果 0C2? 則 ? ? 0, ?txu 沒(méi)有討論意義。對(duì)于均勻弦，各個(gè)小段是相同的，即線密度和張力是常數(shù)。 B 段作為代表的一 個(gè)小段，所以各個(gè)小段的運(yùn)動(dòng)方程都是這樣。這樣一來(lái)， B段的運(yùn)動(dòng)方程為 nxxdxx udxu ???? /uT x ）（ （ 7） 上邊左式就是 xuT x?? ，而 xux?? 即 22xu??，因此縮寫(xiě)為 uxx。由于 B段長(zhǎng)度不變，即長(zhǎng)度在振動(dòng)過(guò)程中不隨時(shí)間改變，所以張力不變。在振動(dòng)的條件下， dxdxds ?? 2)( （ 2） 用 ρ 表示單位長(zhǎng)度的弦的質(zhì)量，則 B的質(zhì)量是 dx? 。拿區(qū)間（ x,x+dx）上的小段 B作為代表加
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