【正文】 的分數(shù)階Fourier域最優(yōu)濾波算法，該算法具有更好的普適性。如果一次變換不能達到目的，可以考慮級聯(lián)多次不同階數(shù)分數(shù)階Fourier域乘性濾波來實現(xiàn)。通過設(shè)計不同的Hα(ω)可以得到不同類型的濾波器，文獻[23]所提出的掃頻濾波器就是分數(shù)階Fourier域帶通濾波器的時域表現(xiàn)形式[24]。該迭代法與前述的非迭代法不同的是，它恰恰適用于σ較大的情況，尤其是兩次分數(shù)階Fourier變換“正交”時(即σ=)，重構(gòu)誤差最小。 (411)其中me為預(yù)先確定的最大誤差。當(dāng)恢復(fù)出相位信息后就能夠重構(gòu)信號 (410)M需滿足。非迭代法利用分數(shù)階Fourier變換與時頻分布的關(guān)系，通過求相位的瞬時變化率來恢復(fù)相位信息、重構(gòu)信號。2. 相位恢復(fù)及信號重構(gòu)如果已知某信號兩次不同階數(shù)的分數(shù)階Fourier變換模，那么就可以重構(gòu)出該信號，而只會相差一個常數(shù)相位項(原因在于只相差一個常數(shù)相位項的兩個函數(shù)的同一階數(shù)分數(shù)階Fourier變換將具有相同的模)。利用線性調(diào)頻(LFM)信號在不同階數(shù)的分數(shù)階Fourier域呈現(xiàn)出不同的能量聚集性的特性，通過在分數(shù)階Fourier域作峰值二維搜索就可以實現(xiàn)對LFM信號的檢測和參數(shù)估計。此處從信號處理的角度對分數(shù)階Fourier變換的研究進展作全面的總結(jié)和系統(tǒng)的歸納，力圖將分數(shù)階Fourier變換從定義到應(yīng)用的全程都清晰地刻畫出來。而其在信號處理領(lǐng)域的潛力直到20世紀90年代中期才逐漸得到發(fā)掘。分數(shù)階Fourier變換是對經(jīng)典Fourier變換的推廣。90年代初Lohmann[19]提出分數(shù)Fourier變換的光學(xué)實現(xiàn)方法則將其引入了光學(xué)信息處理領(lǐng)域。Namis[18]則注意到分數(shù)Fourier變換作為處理物理問題的數(shù)學(xué)工具的重要意義。在實驗測量的溫度范圍內(nèi)，采用離散Fourier變換直流分量法均能用直線比較好地擬合。(2)離散Fourier變換直流分量法對溫度的分辨能力比灰度平均值法要強。差圖像的離散Fourier變換的直流分量法和差圖像的灰度平均值法均可以作為高強度超聲聚焦刀(HIFU)無創(chuàng)測溫的手段，但采用離散Fourier變換直流分量法進行無創(chuàng)測溫的能力要比采用灰度平均值法強。在圖47中，除了進一步驗證了單組實驗數(shù)據(jù)分析的結(jié)論外，還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)采用灰度平均值作為測量手段時，溫度在40℃65℃之間，4次實驗數(shù)據(jù)尚能較好的擬合，但溫度大于65℃時，4次實驗的結(jié)果發(fā)散現(xiàn)象比較嚴重，無法利用灰度平均值法進行測溫。文獻[15]，如差圖像的灰度平均值，差圖像的離散Fourier變換直流分量值，為減小誤差，本研究均采用離散Fourier變換直流分量值的平方根值(見圖46)。圖45 實驗環(huán)境示意圖為了體現(xiàn)文獻[15]所提方法的有效性，文獻[15]將灰度統(tǒng)計法和二維離散Fourier變換直流分量法的結(jié)果進行比較。在實驗中，以超聲焦域處為中心截取了6464的圖像作為數(shù)據(jù)處理對象。測量范圍為37℃75℃。而在Fourier變換中，可以將反應(yīng)溫度的信息(u=v=0時)和其它細節(jié)方面的信息(u和v不為0時)區(qū)分開來，這有利于對溫度的標(biāo)定。在超聲無創(chuàng)測溫中，作為固定頻率的超聲診斷儀，當(dāng)被掃描組織類型一定時，超聲波的衰減將隨組織溫度的升高而減小，超聲圖像所對應(yīng)的Fourier變換直流分量值將增加，基于以上原理可以將Fourier變換作為超聲無創(chuàng)測溫的一種方法。Fourier變換可以得出信號在各個頻率點上的強度。從物理效果看，F(xiàn)ourier變換是將圖像從空間域變換到頻率域。設(shè)f(m,n)是一個能量有限的模擬信號，則其Fourier變換就表示f的譜。對于二維離散信號，其離散Fourier變換定義為 (45)式中，稱為空間頻率。實驗中得到了較好的結(jié)果，為超聲治療提供了有效的溫度監(jiān)控信息。文獻[15]采用二維離散Fourier變換直流分量法進行無創(chuàng)測溫。盧瑩等[13]對非線性聲參量無損測溫進行了研究，并通過實驗找到了豬肌肉組織和豬肝組織的溫度和非線性聲參量的關(guān)系?；跁r移的超聲無損測溫法要求對回波脈沖進行精確測定，基于頻移的無損測溫技術(shù)隨溫度的變化不明顯。由于透射法是收發(fā)分體式的，使用不方便，且受到生物體體積大小、體位等制約，精度不高，臨床應(yīng)用不方便。圖44 重疊相加法卷積示意圖 DFT在無創(chuàng)測溫中的應(yīng)用近年來，國內(nèi)外對超聲測溫已經(jīng)提出了幾種方法，如透射法、反射法、非線性聲參量法、B超圖像法等。由圖44可見，當(dāng)?shù)诙€分段卷積y1(n)計算完后，疊加重疊點便可得到輸出序列y(n)的前2M個值；同樣道理，分段卷積yi(n)計算完后，就可得到y(tǒng)(n)的第i段的M個序列值。每一分段卷積yk(n)的長度為N+M1，因此yk(n)與yk+1(n)有N1個點重疊，必須把重疊部分的yk(n)與yk+1(n)相加，才能得到完整的卷積序列y(n)。設(shè)序列h(n)長度為N，x(n)為無限長序列。這種分段處理法有重疊相加法和重疊保留法兩種。所以在要求實時處理時，直接套用上述方法是不行的。因而要求存儲容量很大，運算時間長，很難實時處理。圖43 用DFT計算線性卷積框圖實際上，經(jīng)常遇到兩個序列的長度相差很大的情況，例如MN時。由于h(n)長度N=4，x(n)長度M=4，N+M1=8， 所以只有時，的波形才與相同。由此證明了循環(huán)卷積等于線性卷積的條件是。圖41 用DFT計算循環(huán)卷積假設(shè)h(n)和x(n)都是有限長序列，長度分別是N和M，它們的線性卷積和循環(huán)卷積分別表示如下： (41) (42)其中，所以對照式(41)可以看出，上式中即 (43)式(43)說明，yc(n)等于y1(n)以L為周期的周期延拓序列的主值序列。和計算循環(huán)卷積一樣，為了提高運算速度，也希望用DFT(FFT)計算線性卷積。由于DFT有快速算法FFT，當(dāng)N很大時在頻域計算的速度快得多，因而常用DFT(FFT)計算循環(huán)卷積。只要掌握了這兩種基本應(yīng)用的原理，就為用DFT解決數(shù)字濾波和系統(tǒng)分析等問題打下了基礎(chǔ)。然而，各種應(yīng)用一般都以卷積和相關(guān)運算的具體處理為依據(jù)，或者以DFT作為連續(xù)傅里葉變換的近似為基礎(chǔ)。在此基礎(chǔ)上，我們將在這一章對Fourier變換的一些應(yīng)用案例進行探討與分析。注意：該積分核對于Φ=απ/2在普遍意義下是連續(xù)的，尤其對于π的整數(shù)倍而言有，積分核的性質(zhì)：可見FRFT是一個線性變換，關(guān)于角Φ連續(xù)，并且在時頻平面上滿足基本的旋轉(zhuǎn)條件。對應(yīng)于FRFT算子，可以看作是時間信號沿著時間軸逆時針旋轉(zhuǎn)απ/2的變換。如圖33(Φ=απ/2)，我們可以把Fourier變換算子F看作是時間信號沿著時間軸逆時針旋轉(zhuǎn)π/2的變換。因此，這樣定義的分數(shù)階Fourier變換確實是一個時(空)頻描述和分析工具。因此，A．W．Lohmann定義α階的分數(shù)階Fourier變換為式中矩陣R(α)是時頻相平面xω上角度為(απ/2)的旋轉(zhuǎn)矩陣實際上，分數(shù)階Fourier變換的這三種定義在數(shù)學(xué)上是等價的。A．W．Lohmann在1993年利用Fourier變換相當(dāng)于在Wigner分布函數(shù)相空間中角度為π/2的旋轉(zhuǎn)這一性質(zhì)，說明分數(shù)階Fourier變換在Wigner分布函數(shù)相空間中相當(dāng)于角度是απ/2的旋轉(zhuǎn)，這里α是分數(shù)階Fourier變換的階。A．C．Mcbride和F．H．Kerr在1987年給出了V．Namias的分數(shù)階Fourier變換積分形式。因為，分數(shù)階Fourier變換和Fourier變換具有完全相同的特征函數(shù)，而他們的特征值之間是冪次關(guān)系，所以，分數(shù)階Fourier變換是完全不同于Fourier變換的一種新的變換類，只有冪次取一些特殊的值比如1，5，9這樣的比4的整數(shù)倍多1的整數(shù)時，分數(shù)階Fourier變換才返回到經(jīng)典的Fourier變換。設(shè)x(n)是長度為N的實序列，且X(k)=DFT[x(n)]， 則(1) X(k)共軛對稱，即X(k)=X*(Nk)， (332)(2) 如果x(n)=x(Nn)，則X(k)實偶對稱，即X(k)=X(Nk) (333)(3) 如果x(n)= x(Nn)，則X(k)純虛奇對稱，即X(k)= X(Nk) (334) 分數(shù)階Fourier變換(FRFT)的定義和性質(zhì) 分數(shù)階Fourier變換(FRFT)的定義[11]相應(yīng)于非負整數(shù)m=0,1,2,…，將Fourier變換對應(yīng)的特征值寫成，同時，相應(yīng)的標(biāo)準化特征函數(shù)可以寫成 (335)也就是說，的Fourier變換恰好等于它自己與復(fù)數(shù)的乘積，標(biāo)準化的含義是的等于1。如果 則 (329)或式中相對于頻域循環(huán)卷積定理，稱式(328)為時域循環(huán)卷積定理。由于循環(huán)卷積過程中，要求對x2(m)的循環(huán)反轉(zhuǎn)和循環(huán)移位，特別是兩個N長的序列的循環(huán)卷積長度仍為N。首先將x2(m)周期化，形成x2((m))N，再反轉(zhuǎn)形成x2((m))N，取主值序列則得到x2((m))NRN(m)，通常稱之為x2(m)的循環(huán)反轉(zhuǎn)。因此 圖32 循環(huán)卷積過程示意圖式(328)的循環(huán)卷積過程如圖32所示。下面先證明式(328)，再說明其計算方法。[10]有限長序列和長度分別為N1和N2。圖31 循環(huán)移位過程示意圖(2)時域循環(huán)移位定理設(shè)是長度為N的有限長序列，為的循環(huán)移位，即則 (326)其中 證明：令，則有由于上式中求和項以N為周期，所以對其在任一周期上的求和結(jié)果相同。顯然仍是長度為N的有限長序列。(1)序列的循環(huán)移位設(shè)為有限長序列，長度為N，則的循環(huán)移位定義為 (325)式(325)表明，將以N為周期進行周期延拓得到，再將左移m位得到的主值序列，則得到有限長序列的循環(huán)移位序列。長度為N的有限長序列x(n)，其離散傅里葉變換X(k)仍是一個長度為N的有限長序列，它們的關(guān)系為： (322) (323)x(n)與X(k)是一個有限長序列離散Fourier變換對，已知x(n)就能唯一地確定X(k)，同樣已知X(k)也就唯一地確定x(n)，實際上x(n)與X(k)都是長度為N的序列(復(fù)序列)都有N個獨立值，因而具有等量的信息。周期序列的離散Fourier級數(shù)也是一個周期序列，也可給它定義一個主值區(qū)間，以及主值序列X(k)。一個有限長序列x(n)，長為N為了引用周期序列的概念，假定一個周期序列，它由長度為N的有限長序列x(n)延拓而成，它們的關(guān)系： (317)周期序列的主值區(qū)間與主值序列：對于周期序列，定義其第一個周期，為的“主值區(qū)間”，主值區(qū)間上的序列為主值序列x(n)。DFS變換對公式表明，一個周期序列雖然是無窮長序列，但是只要知道它一個周期的內(nèi)容（一個周期內(nèi)信號的變化情況），其它的內(nèi)容也就都知道了，所以這種無窮長序列實際上只有N個序列值的信息是有用的，因此周期序列與有限長序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。] ——離散Fourier級數(shù)變換IDFS[將上式兩邊乘以，并對一個周期求和，得： (310) (311)上式中[ ]部分顯然只有當(dāng)k=r時才有值為1，其他任意k值時均為零，所以有 (312)或者寫成 (1)可求N次諧波的系數(shù)(2)也是一個由N個獨立諧波分量組成的Fourier級數(shù)(3)為周期序列，周期為N 時域上周期序列的離散Fourier級數(shù)在頻域上仍是一個周期序列。周期為N的正弦序列其基頻成分為：K次諧波序列為：但離散級數(shù)所有諧波成分中只有N個是獨立的，這是與連續(xù)Fourier級數(shù)的不同之處，即因此。都周而復(fù)始永不衰減，即Z平面上沒有收斂域。周期序列不能進行Z變換，因為其在n=165。1. 連續(xù)時間、離散頻率——Fourier級數(shù) (31) (32)2. 連續(xù)時間、連續(xù)頻率——Fourier變換 (33) (34)3. 離散時間、連續(xù)頻率——序列的Fourier變換 (35) (36)4. 離散時間、離散頻率——離散Fourier變換 (37) (38) 離散Fourier級數(shù)(DFS)為了便于更好地理解DFT的概念，先討論周期序列及其離散Fourier級數(shù)(DFS)表示。為了更好的理