福建省20xx屆高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)學(xué)科二輪備考關(guān)鍵問題指導(dǎo)系列七(立體幾何存在問題及應(yīng)對(duì)策略)(編輯修改稿)
2025-04-03 04:06 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ，，．設(shè)是平面的法向量，則即，所以可取．設(shè)是平面的法向量，則同理可?。畡t，故二面角的余弦值為．【評(píng)析】本題（2）的解決關(guān)鍵在于理清二面角與二面角的平面角（此時(shí)只有理清哪個(gè)角是平面角，才能尋求坐標(biāo)之間的關(guān)系），考生往往會(huì)會(huì)“想當(dāng)然”“直觀”認(rèn)為為二面角的平面角，為二面角的平面角，而忽視對(duì)平面角定義的闡述！事實(shí)上，在平面角的定義中，必需緊扣“相交棱”“兩垂直于棱的相交直線”，這往往需要“找、證”“ 相交棱垂直平面”．問題四：建系的合理性欠思考理數(shù)立體幾何解答題的二問常立足定量求解（如三種角度的度量，線面角與二面角是高頻考點(diǎn)，異面直線所成角偶爾會(huì)涉及到），往往可考慮幾何法和向量法進(jìn)行求解，但利用向量法進(jìn)行求解的更易入手，相應(yīng)的考生比例也更大．利用向量法解決離不開建立一個(gè)合適的坐標(biāo)系，考生常因不懂建系或建系不合理導(dǎo)致求解困難，也常出現(xiàn)“沒有證明三線兩兩垂直”就“想當(dāng)然”建系等錯(cuò)誤．【例題9】（2015年新課標(biāo)Ⅰ卷理18）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120176。，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. （1）證明：平面AEC⊥平面AFC.（2）求直線AE與直線CF所成角的余弦值.【解析】（1）連結(jié)在菱形中，不妨設(shè),由，可得， 在 在直角梯形中，由 ，∴EG⊥FG，∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC. （2）如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，y軸正方向，為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系Gxyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E(1,0, )，F(xiàn)（－1,0，），C（0，0），∴. 故.所以直線AE與CF所成的角的余弦值為. 【評(píng)析】本題主要考查立體幾何的線面、面面位置關(guān)系，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力. 本題的學(xué)生的主要失誤點(diǎn)：一是沒有建好坐標(biāo)系，被“圖”迷惑，一下子盯住點(diǎn)B、D，把點(diǎn)B或點(diǎn)D視為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)導(dǎo)致整題失分．二是因貪快，導(dǎo)致圖形中的坐標(biāo)系漏畫，例如：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，但圖中是空的．三是空間直角坐標(biāo)系建成左手系，而不是建成右手系．事實(shí)上，建立合理的坐標(biāo)系是代數(shù)法解立體幾題的關(guān)鍵. 建立坐標(biāo)系就是構(gòu)造（尋找）三線兩兩垂直，可分步處理，先找兩線垂直或先找平面的垂線（在垂面上找，即通過線面、面面垂直尋找，即本題中的平面EFDB和垂線EB、DF），再移動(dòng)位置定出原點(diǎn)的位置，這是基本功，一定要通過合理地訓(xùn)練，讓學(xué)生過關(guān). 當(dāng)然，建系時(shí)證明三線兩兩垂直是不可缺少的.問題五：運(yùn)算求解出現(xiàn)低級(jí)錯(cuò)誤學(xué)生在解決立體幾何中涉及到求幾何體的體積、表面積或求角與距離等問題時(shí)，運(yùn)算性的出錯(cuò)也很常見，主要表現(xiàn)在：①錯(cuò)用幾何體的體積、表面積公式；②錯(cuò)選向量或向量公式求解相關(guān)問題；③運(yùn)算過程粗心出錯(cuò)等. 由于運(yùn)算求解能力弱是目前學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)存在的典型性問題，在這里就不在舉例分析.二、應(yīng)對(duì)策略1．關(guān)注識(shí)圖、作圖、用圖能力的培養(yǎng)識(shí)圖、作圖、用圖能力的培養(yǎng)非一朝一夕就可實(shí)現(xiàn)的，教師要“舍得”花較多的時(shí)間“手把手”教學(xué)生“怎么畫”；要“講明作圖的原理”避免學(xué)生雖“看得懂”教師的“畫”，但“書到用時(shí)方覺少，事非經(jīng)過不知難！”；要“善于借助模型和道具”引導(dǎo)學(xué)生觀察；要“培養(yǎng)模型意識(shí)、動(dòng)手能力”引導(dǎo)學(xué)生巧借“教室”或“道具比劃”簡(jiǎn)化、解決問題．【例題10】(2018北京)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【解析】解法一： 將三視圖還原為直觀圖，幾何體是底面為直角梯形，且一條側(cè)棱和底面垂直的四棱錐，如圖所示，易知，，，平面，故，為直角三角形，∵平面，平面，又，且，∴平面，又平面．，∴為直角三角形，容易求得，，故不是直角三角形，故選C．解法二：在正方體中作出該幾何體的直觀圖，記為四棱錐，如圖，由圖可知在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為3，故選C． 【例題11】（2020新課標(biāo)Ⅲ卷理15）已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．【解析】易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示，其中，且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，由于，故，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則：，解得：，其體積：.故答案為：.【評(píng)析】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.2．理清判定定理和性質(zhì)定理的條件與結(jié)論，關(guān)注證明的嚴(yán)密性線與線、線與面、面與面之間的關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，平行關(guān)
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