福建省20xx屆高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)學(xué)科二輪備考關(guān)鍵問題指導(dǎo)系列七(立體幾何存在問題及應(yīng)對策略)(完整版)
【正文】 全國Ⅰ卷)如圖，直四棱柱的底面是菱形，分別是，的中點．(1)證明：∥平面；【解析】(1)連結(jié)，．因為，分別為，的中點，所以，且．又因為為的中點，所以．由題設(shè)知，可得，故，因此四邊形為平行四邊形，．又平面，所以平面．【評析】（1）要證線面平行，一般可考慮線線平行或面面平行，本題可優(yōu)先考慮線線平行．本題雖思路較為直接，但常常會“想當(dāng)然”，如易借助幾何直觀直接得出，忽視要證明“是平行四邊形”的證明過程；此外更常忽略條件“平面,平面”的完整表達(dá)而造成不必要的失分！【例題7】（2020新課標(biāo)Ⅰ卷理18）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點，．（1）證明：平面；【解析】（1）由題設(shè)，知為等邊三角形，設(shè)，則，所以，又為等邊三角形，則，所以，則，所以，同理，又，所以平面；【評析】要證線面垂直，關(guān)鍵在于找出兩組“線線垂直”，勾股定理忘記用了，等邊三角形外接圓的半徑的求法可以借助正弦定理，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明與推導(dǎo)．證明過程中常因忽視平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化，直接“想當(dāng)然”“易得”，造成失分，同時條件“一條線垂直平面內(nèi)兩條相交的直線”即也是學(xué)生證明面面垂直最容易失分的地方．問題三：概念意識不強(qiáng)數(shù)學(xué)概念不僅僅是明晰研究對象，也是數(shù)學(xué)思考問題、文字語言與圖形語言無法轉(zhuǎn)換，即看到概念的文本描述，卻無法形成與之相應(yīng)的空間幾何體．易把“異面直線所成的角”與“向量的夾角”混淆，易把“線面所成的角”等同“直線與平面法向量的夾角”，易分辨不清“二面角的平面角”與“兩個法向量的夾角”之間差異，同時對“線面所成的角”或“二面角的平面角”易忽視其定義的本質(zhì)（即“找、證、算”），而陷入盲目的計算，使得問題復(fù)雜化．【例題8】(2019年浙江卷)設(shè)三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，是棱上的點(不含端點)．記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則A．， B．， C．， D．，【解析】由題意，不妨設(shè)該三棱錐的側(cè)棱長與底面邊長相等，因為點是棱上的點(不含端點)，所以直線與平面所成的角小于直線與平面所成的角，而直線與平面所成的角小于二面角的平面角，所以；因為平面，所以直線與直線所成的角大于直線與平面所成的角，即．故選B．【評析】本題的解決關(guān)鍵在于正確理解并理清直線與直線所成的角為、直線與平面所成的角為、二面角的平面角為等這三種空間角的定義，學(xué)生常常忽視對三個空間角的平面角定義的闡述重視不夠，導(dǎo)致解題錯誤. 事實上，在平面角的定義中，必需緊扣“相交棱”“兩垂直于棱的相交直線”，這往往需要“找、證”“ 相交棱垂直平面”等．【例題8】如圖，在以為頂點的五面體中，面為正方形，且二面角與二面角都是．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【解析】（1）由已知可得，所以平面，又平面，故平面平面．（2）過作，垂足為，由（I）知平面．以為坐標(biāo)原點，的方向為軸正方向，為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ．由（I）知為二面角的平面角，故，則，可得，．由已知，所以平面．又平面平面，故，．由，可得平面，所以為二面角的平面角，．從而可得．所以，．設(shè)是平面的法向量，則即，所以可?。O(shè)是平面的法向量，則同理可?。畡t，故二面角的余弦值為．【評析】本題（2）的解決關(guān)鍵在于理清二面角與二面角的平面角（此時只有理清哪個角是平面角，才能尋求坐標(biāo)之間的關(guān)系），考生往往會會“想當(dāng)然”“直觀”認(rèn)為為二面角的平面角，為二面角的平面角，而忽視對平面角定義的闡述！事實上，在平面角的定義中，必需緊扣“相交棱”“兩垂直于棱的相交直線”，這往往需要“找、證”“ 相交棱垂直平面”．問題四：建系的合理性欠思考理數(shù)立體幾何解答題的二問常立足定量求解（如三種角度的度量，線面角與二面角是高頻考點，異面直線所成角偶爾會涉及到），往往可考慮幾何法和向量法進(jìn)行求解，但利用向量法進(jìn)行求解的更易入手，相應(yīng)的考生比例也更大．利用向量法解決離不開建立一個合適的坐標(biāo)系，考生常因不懂建系或建系不合理導(dǎo)致求解困難，也常出現(xiàn)“沒有證明三線兩兩垂直”就“想當(dāng)然”建系等錯誤．【例題9】（2015年新課標(biāo)Ⅰ卷理18）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120176。E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. （1）證明：平面AEC⊥平面AFC.（2）求直線AE與直線CF所成角的余弦值.【解析】（1）連結(jié)在菱形中，不妨設(shè),由，可得， 在 在直角梯形中，由 ，∴EG⊥FG，∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC. （2）如圖，以G為坐標(biāo)原點，分別以的方向為軸，y軸正方向，為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系
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