福建省20xx屆高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)學(xué)科二輪備考關(guān)鍵問(wèn)題指導(dǎo)系列七(立體幾何存在問(wèn)題及應(yīng)對(duì)策略)(參考版)
2025-04-03 04:06本頁(yè)面
【正文】 全國(guó)Ⅰ卷文18）如圖，在平行四邊形中，. 以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)D的位置，且. （1）證明：平面平面；（2）為線段上一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且，求三棱錐的體積.【解析】（1）欲證平面平面，只需證明平面，只需在平面內(nèi)尋找兩條相交直線與直線垂直；由已知可得，. 又，所以平面.又平面，所以平面平面. （2）欲求三棱錐的體積，只需求出的面積與點(diǎn) 到平面的距離，再利用錐體的體積公式，即可得結(jié)果.由已知可得，.又，所以.作，垂足為，則. 由已知及（1）可得平面，所以平面，. 因此，三棱錐的體積為.【例題22】（2020四川期末）如圖，梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直，．，．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？不需說(shuō)明理由．【解析】（1）因?yàn)椋?，所以四邊形為平行四邊形，所以．因?yàn)椋云矫妫?）在平面ABEF內(nèi)，過(guò)A作，因?yàn)槠矫?平面，所以 ，所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系．由題意得， ，．所以，．設(shè)平面的法向量為 則 即令，則，所以平面的一個(gè)法向量為 則 ．所以二面角的余弦值．（3）線段上不存在點(diǎn)，使得平面，理由如下：解法一：設(shè)平面的法向量為，則 即令，則，所以．因?yàn)?，所以平面與平面不可能垂直，從而線段上不存在點(diǎn)，使得平面．解法二：線段上不存在點(diǎn)，使得平面，理由如下：假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得平面，設(shè)，其中．設(shè)，則有，所以，從而，所以．因?yàn)槠矫?，所以．所以有，因?yàn)樯鲜龇匠探M無(wú)解，所以假設(shè)不成立．所以線段上不存在點(diǎn)，使得平面．。若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)______． 【解析】如圖所示，因?yàn)槟妇€所成角的余弦值為，所以母線所成角的正弦值為，因?yàn)榈拿娣e為，設(shè)母線長(zhǎng)為，所以．因?yàn)榕c圓錐底面所成角為，所以底面圓的半徑，因此該圓錐的側(cè)面積為．【評(píng)析】本題易錯(cuò)點(diǎn)是想當(dāng)然的誤以為為軸截面，從而設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，因?yàn)槟妇€與該圓錐底面所成角為45176。E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. （1）證明：平面AEC⊥平面AFC.（2）求直線AE與直線CF所成角的余弦值.【解析】（1）連結(jié)在菱形中，不妨設(shè),由，可得， 在 在直角梯形中，由 ，∴EG⊥FG，∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC. （2）如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，y軸正方向，為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系Gxyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E(1,0, )，F(xiàn)（－1,0，），C（0，0），∴. 故.所以直線AE與CF所成的角的余弦值為. 【評(píng)析】本題主要考查立體幾何的線面、面面位置關(guān)系，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力. 本題的學(xué)生的主要失誤點(diǎn)：一是沒(méi)有建好坐標(biāo)系，被“圖”迷惑，一下子盯住點(diǎn)B、D，把點(diǎn)B或點(diǎn)D視為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)導(dǎo)致整題失分．二是因貪快，導(dǎo)致圖形中的坐標(biāo)系漏畫(huà)，例如：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，但圖中是空的．三是空間直角坐標(biāo)系建成左手系，而不是建成右手系．事實(shí)上，建立合理的坐標(biāo)系是代數(shù)法解立體幾題的關(guān)鍵. 建立坐標(biāo)系就是構(gòu)造（尋找）三線兩兩垂直，可分步處理，先找兩線垂直或先找平面的垂線（在垂面上找，即通過(guò)線面、面面垂直尋找，即本題中的平面EFDB和垂線EB、DF），再移動(dòng)位置定出原點(diǎn)的位置，這是基本功，一定要通過(guò)合理地訓(xùn)練，讓學(xué)生過(guò)關(guān). 當(dāng)然，建系時(shí)證明三線兩兩垂直是不可缺少的.問(wèn)題五：運(yùn)算求解出現(xiàn)低級(jí)錯(cuò)誤學(xué)生在解決立體幾何中涉及到求幾何體的體積、表面積或求角與距離等問(wèn)題時(shí)，運(yùn)算性的出錯(cuò)也很常見(jiàn)，主要表現(xiàn)在：①錯(cuò)用幾何體的體積、表面積公式；②錯(cuò)選向量或向量公式求解相關(guān)問(wèn)題；③運(yùn)算過(guò)程粗心出錯(cuò)等. 由于運(yùn)算求解能力弱是目前學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)存在的典型性問(wèn)題，在這里就不在舉例分析.二、應(yīng)對(duì)策略1．關(guān)注識(shí)圖、作圖、用圖能力的培養(yǎng)識(shí)圖、作圖、用圖能力的培養(yǎng)非一朝一夕就可實(shí)現(xiàn)的，教師要“舍得”花較多的時(shí)間“手把手”教學(xué)生“怎么畫(huà)”；要“講明作圖的原理”避免學(xué)生雖“看得懂”教師的“畫(huà)”，但“書(shū)到用時(shí)方覺(jué)少，事非經(jīng)過(guò)不知難！”；要“善于借助模型和道具”引導(dǎo)學(xué)生觀察；要“培養(yǎng)模型意識(shí)、動(dòng)手能力”引導(dǎo)學(xué)生巧借“教室”或“道具比劃”簡(jiǎn)化、解決問(wèn)題．【例題10】(2018北京)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【解析】解法一： 將三視圖還原為直觀圖，幾何體是底面為直角梯形，且一條側(cè)棱和底面垂直的四棱錐，如圖所示，易知，平面，故，為直角三角形，∵平面，平面，又，且，∴平面，又平面．，∴為直角三角形，容易求得，故不
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