福建省20xx屆高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)學(xué)科二輪備考關(guān)鍵問題指導(dǎo)系列七(立體幾何存在問題及應(yīng)對策略)-資料下載頁
2025-04-03 04:06本頁面
【正文】 球心到底面三角形的距離即可求解．求與球有關(guān)的切接問題的關(guān)鍵是確定球心和半徑，常用方法有三種：一是定義法，利用球的定義確定球心和半徑；二是補形法，將幾何體補成長方體，則長方體的體對角線就是球的直徑，特別適用于內(nèi)接幾何體中有三條共頂點的棱兩兩互相垂直的情形；三是軸截面法，畫出軸截面確定球心和半徑．【例題19】（2018課標(biāo)全國卷Ⅱ理16）已知圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45176。，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為_______． 【解析】如圖所示，因為母線所成角的余弦值為，所以母線所成角的正弦值為，因為的面積為，設(shè)母線長為，所以．因為與圓錐底面所成角為，所以底面圓的半徑，因此該圓錐的側(cè)面積為．【評析】本題易錯點是想當(dāng)然的誤以為為軸截面，從而設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，因為母線與該圓錐底面所成角為45176。，所以誤得該圓錐的高，因為的面積為，所以，解得，所以該圓錐的側(cè)面積為的錯誤的結(jié)果．避免此類錯誤，除了細(xì)審題，還需畫出草圖，根據(jù)草圖的直觀性，能有效地避開此類錯點．5．強化空間角與距離的合理求解空間角的求解和距離的求解是定量分析的重要部分．策略一：求解主要在于定義的應(yīng)用，如通過“平行”關(guān)系研究“異面直線所成的角”，通過構(gòu)造垂直關(guān)系求解“線面角、二面角的平面角”；距離則往往與體積轉(zhuǎn)化有關(guān)．策略二：關(guān)鍵在于區(qū)別“向量的夾角”，特別是“線面所成的角”與“直線與平面法向量的夾角（指銳角）”之間的互余關(guān)系是考生的易錯點之一．對于一些較為復(fù)雜的條件，合理選擇“基本量”可大大簡化計算．【例題20】（2020河南南陽中學(xué)高三月考）如圖，四棱錐中，，，．（1）求證：平面平面；（2）在線段上是否存在點，使得平面與平面所成銳二面角為？若存在，求的值；若不存在，說明理由．【解析】（1）證明：因為四邊形為直角梯形，且， ，所以，又因為．根據(jù)余弦定理得 所以，故． 又因為， ，且，平面，所以平面， 又因為平面PBC，所以（2）由（1）得平面平面， 設(shè)為的中點，連結(jié) ，因為，所以，又平面平面，平面平面，平面．如圖，以為原點分別以，和垂直平面的方向 為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，， 假設(shè)存在滿足要求，設(shè)，即，所以，易得平面的一個法向量為． 設(shè)為平面的一個法向量， 由得，不妨取．因為平面與平面所成的銳二面角為，所以，解得，（不合題意舍去）．故存在點滿足條件，且．6. 強化答題的規(guī)范化在平時的立體幾何的考試訓(xùn)練中，加強審題能力（讀題與觀圖），強化立體幾何解答題的規(guī)范性訓(xùn)練，同時加強邏輯表達(dá)能力的訓(xùn)練，并提升運算求解能力（如空間的點的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)，以及法向量的計算一定不要出錯）．強化答題規(guī)范化訓(xùn)練是提高成績的保證，立體幾何解答題的證明過程要做到“步步有理有據(jù)”，要分清主次，“精”寫過程（當(dāng)然“精”寫過程是建立在寫全步驟的基礎(chǔ)之上的，任何的“跳步”書寫都容易產(chǎn)生歧義，都是要失分的）．立體幾何解答題的運算過程, 定要認(rèn)真，如空間的點的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)，以及平面的法向量的計算一定不要出錯．真正做到對立體幾何解答題的審題到位，思維全面，下筆準(zhǔn)確，答題快速．【例題21】（2018全國Ⅰ卷文18）如圖，在平行四邊形中，. 以為折痕將折起，使點到達(dá)點D的位置，且. （1）證明：平面平面；（2）為線段上一點，為線段上一點，且，求三棱錐的體積.【解析】（1）欲證平面平面，只需證明平面，只需在平面內(nèi)尋找兩條相交直線與直線垂直；由已知可得，. 又，所以平面.又平面，所以平面平面. （2）欲求三棱錐的體積，只需求出的面積與點 到平面的距離，再利用錐體的體積公式，即可得結(jié)果.由已知可得，.又，所以.作，垂足為，則. 由已知及（1）可得平面，所以平面，. 因此，三棱錐的體積為.【例題22】（2020四川期末）如圖，梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直，．，．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）線段上是否存在點，使得平面？不需說明理由．【解析】（1）因為，且，所以四邊形為平行四邊形，所以．因為，所以平面．（2）在平面ABEF內(nèi)，過A作，因為平面 平面，，所以 ，所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系．由題意得，， ，．所以，．設(shè)平面的法向量為 則 即令，則，所以平面的一個法向量為 則 ．所以二面角的余弦值．（3）線段上不存在點，使得平面，理由如下：解法一：設(shè)平面的法向量為，則 即令，則，所以．因為 ，所以平面與平面不可能垂直，從而線段上不存在點，使得平面．解法二：線段上不存在點，使得平面，理由如下：假設(shè)線段上存在點，使得平面，設(shè)，其中．設(shè)，則有，所以，，從而，所以．因為平面，所以．所以有，因為上述方程組無解，所以假設(shè)不成立．所以線段上不存在點，使得平面．
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