20xx年高考數(shù)學(xué)回歸課本圓錐曲線一教案舊人教版(編輯修改稿)
2025-03-09 22:26 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 P(x,y), A(x1, y1)，則，即x1=2x+c, y1=2y. 又因為點(diǎn)A在橢圓上，所以代入得關(guān)于點(diǎn)P的方程為。它表示中心為，焦點(diǎn)分別為F和O的橢圓。例4 長為a, b的線段AB，CD分別在x軸，y軸上滑動，且A，B，C，D四點(diǎn)共圓，求此動圓圓心P的軌跡。[解] 設(shè)P(x, y)為軌跡上任意一點(diǎn)，A，B，C，D的坐標(biāo)分別為A(x,0), B(x+,0), C(0, y), D(0, y+), 記O為原點(diǎn)，由圓冪定理知|OA|?|OB|=|OC|?|OD|，用坐標(biāo)表示為，即當(dāng)a=b時，軌跡為兩條直線y=x與y=x；當(dāng)ab時，軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的兩條等軸雙曲線；當(dāng)ab時，軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的兩條等軸雙曲線。例5 在坐標(biāo)平面內(nèi)，∠AOB=，AB邊在直線l: x=3上移動，求三角形AOB的外心的軌跡方程。[解] 設(shè)∠xOB=θ,并且B在A的上方，則點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為B(3, 3tanθ),A(3,3tan(θ)),設(shè)外心為P(x,y)，由中點(diǎn)公式知OB中點(diǎn)為M。由外心性質(zhì)知 再由得tanθ=1。結(jié)合上式有?tanθ= ①又 tanθ+= ②又 所以tanθ=兩邊平方，再將①，②代入得。即為所求。3．定值問題。例6 過雙曲線(a0, b0)的右焦點(diǎn)F作B1B2軸，交雙曲線于B1，B2兩點(diǎn)，B2與左焦點(diǎn)F1連線交雙曲線于B點(diǎn)，連結(jié)B1B交x軸于H點(diǎn)。求證：H的橫坐標(biāo)為定值。[證明] 設(shè)點(diǎn)B，H，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為(asecα,btanα), (x0, 0), (c, 0)，則F1，B1，B2的坐標(biāo)分別為(c, 0), (c, ), (c, )，因為F1，H分別是直線B2F，BB1與x軸的交點(diǎn)，所以 ①所以 。由①得代入上式得即 （定值）。注：本例也可借助梅涅勞斯定理證明，讀者不妨一試。例7 設(shè)拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在準(zhǔn)線上，且BC//x軸。證明：直線AC經(jīng)過定點(diǎn)。[證明] 設(shè)，則，焦點(diǎn)為，所以，。由于，所以?y2y1=0，即=0。因為，所以。所以，即。所以，即直線AC經(jīng)過原點(diǎn)。例8 橢圓上有兩點(diǎn)A，B，滿足OAOB，O為原點(diǎn)，求證：為定值。[證明] 設(shè)|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ,∠xOB=，則點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(r1cosθ, r1sinθ),B(r2sinθ,r2cosθ)。由A，B在橢圓上有即 ① ②①+②得（定值）。4．最值問題。例9 設(shè)A，B是橢圓x2+3y2=1上的兩個動點(diǎn)，且OAOB（O為原點(diǎn)），求|AB|的最大值與最小值。[解] 由題設(shè)a=1，b=,記|OA|=r1,|OB
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