20xx年高考數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)練系列圓錐曲線教案蘇教版(編輯修改稿)
2025-03-09 22:26 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 拋 物 線基礎(chǔ)過關(guān)1．拋物線定義：平面內(nèi)到 和 距離 的點的軌跡叫拋物線， 叫拋物線的焦點， 叫做拋物線的準線(注意定點在定直線外，否則，軌跡將退化為一條直線)．2．拋物線的標準方程和焦點坐標及準線方程① ，焦點為 ，準線為 ．② ，焦點為 ，準線為 ．③ ，焦點為 ，準線為 ．④ ，焦點為 ，準線為 ．3．拋物線的幾何性質(zhì)：對進行討論．① 點的范圍： 、 ．② 對稱性：拋物線關(guān)于 軸對稱．③ 離心率 ．④ 焦半徑公式：設(shè)F是拋物線的焦點，是拋物線上一點，則 ．⑤ 焦點弦長公式：設(shè)AB是過拋物線焦點的一條弦(焦點弦)i) 若，則＝ ， ．ii) 若AB所在直線的傾斜角為(則＝ ．特別地，當(dāng)時，AB為拋物線的通徑，且＝ ．iii) S△AOB＝ （表示成P與θ的關(guān)系式）．iv) 為定值，且等于 ．典型例題例1. 已知拋物線頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點到焦點的距離為5，求拋物線的方程和n的值．解：設(shè)拋物線方程為，則焦點是F∵點A(－3，n)在拋物線上，且| AF |＝5故解得P＝4，故所求拋物線方程為變式訓(xùn)練1：求頂點在原點，對稱軸是x軸，并且頂點與焦點的距離等于6的拋物線方程．解：因為對稱軸是軸，可設(shè)拋物線方程為或 ∵，∴p＝12故拋物線方程為或例2. 已知拋物線C：的焦點為F，過點F的直線l與C相交于A、B．(1) 若，求直線l的方程．(2) 求的最小值．解：(1)解法一：設(shè)直線的方程為：代入整理得，設(shè)則是上述關(guān)于的方程的兩個不同實根，所以根據(jù)拋物線的定義知：| AB |＝＝若，則即直線有兩條，其方程分別為：解法二：由拋物線的焦點弦長公式|AB|＝(θ為AB的傾斜角)易知sinθ＝177。，即直線AB的斜率k＝tanθ＝177。，故所求直線方程為：或.(2) 由(1)知，當(dāng)且僅當(dāng)時，|AB|有最小值4．解法二：由(1)知|AB|＝＝∴ |AB|min＝4 (此時sinθ＝1，θ＝90176。)變式訓(xùn)練2：過拋物線y2＝4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線 （ ）A．有且僅有一條 B．有且僅有兩條C．有無數(shù)條 D．不存在解：B例3. 若A(3，2)，F(xiàn)為拋物線的焦點，P為拋物線上任意一點，求的最小值及取得最小值時的P的坐標．解：拋物線的準線方程為過P作PQ垂直于準線于Q點，由拋物線定義得|PQ|＝| PF |，∴| PF |＋| PA |＝| PA |＋| PQ |要使| PA |＋| PQ |最小，A、P、Q三點必共線，即AQ垂直于準線，AQ與拋物線的交點為P點從而|PA|＋|PF|的最小值為此時P的坐標為(2，2)1.（2008遼寧理，10）已知點P是拋物線y2=2x上的一個動點，則點P到點（0，2）的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為 .答案 變式訓(xùn)練3：一個酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的方程是x2，在杯內(nèi)放入一個玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑r的取值范圍是 。解：例4. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，兩點在拋物線y＝2x2上，l是AB的垂直平分線．(1)當(dāng)且僅當(dāng)x1＋x2取何值時，直線l經(jīng)過拋物線的焦點F？證明你的結(jié)論？(2)當(dāng)直線l的斜率為2時，求在y軸上的截距的取值范圍．解：(1)F∈l|FA|＝|FB|A、B兩點到拋物線的準線的距離相等．∵拋物線的準線是x軸的平行線，y1≥0，y2≥0，依題意y1，y2不同時為0．∴上述條件等價于y1＝y(tǒng)2(x1＋x2)(x1－x2)＝0∵x1≠x2 ∴x1＋x2＝0即當(dāng)且僅當(dāng)x1＋x2＝0時，l過拋物線的焦點F．(2)設(shè)l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為y＝2x＋b，過點A、B的直線方程可寫為y＝－x＋m所以xx2滿足方程：2x2＋x－m＝0且x1＋x2＝－，由于A、B為拋物線上不同的兩點，所以△＝＋8m＞0，即m＞－設(shè)AB之中點為N(x0，y0)，則x0＝y(tǒng)0＝－x0＋m＝＋m由N∈l得：＋m＝－＋b于是b＝＋m＞－＝即l在y軸上截距的取值范圍是(，＋)變式訓(xùn)練4：正方形ABCD中，一條邊AB在直線y＝x＋4上，另外兩頂點C、D在拋物線y2＝x上，求正方形的面積．設(shè)C、D的坐標分別為(y12，y1)，(y22，y2)( y1 y2)，則直線CD的斜率為1．∴ ＝＝1，即y1＋y2＝1 ①又| CD |＝＝＝(y1－y2)| BC |＝(y12－y1＋4恒正)由| CD |＝| BC |，有(y1－y2)＝ ②解①、② 得 y1＝2或y1＝3當(dāng)y1＝2時，有| BC |＝3，此時SABCD＝18當(dāng)y1＝3時，有| BC |＝5，此時SABCD＝50∴ 正方形的面積為18或50．小結(jié)歸納1．求拋物線方程要注意頂點位置和開口方向，以便準確設(shè)出方程，然后用待定系數(shù)法．2．利用好拋物線定義，進行求線段和的最小值問題的轉(zhuǎn)化．3．涉及拋物線的弦的中點和弦長等問題要注意利用韋達定理，能避免求交點坐標的復(fù)雜運算．解決焦點弦問題時，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，應(yīng)注意焦點弦的幾何性質(zhì)．基礎(chǔ)過關(guān)第4課時 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，常用研究方法是將曲線方程與直線方程聯(lián)立，由所得方程組的解的個數(shù)來決定，一般地，消元后所得一元二次方程的判別式記為△，△0時，有兩個公共點，△＝0時，有一個公共點，△0時，沒有公共點．但當(dāng)直線方程與曲線方程聯(lián)立的方程組只有一組解（即直線與曲線只有一個交點）時，直線與曲線未必相切，在判定此類情形時，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合．（對于雙曲線，重點注意與漸近線平行的直線，對于拋物線，重點注意與對稱軸平行的直線）2．直線與圓錐曲線的交點間的線段叫做圓錐曲線的弦．設(shè)弦AB端點的坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2),直線AB的斜率為k，則：｜AB｜=————————或：—————————．利用這個公式求弦長時，要注意結(jié)合韋達定理．當(dāng)弦過圓錐曲線的焦點時，可用焦半徑進行運算．3．中點弦問題：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓上不同的兩點，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0
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