20xx年高考數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)練系列圓錐曲線教案蘇教版(編輯修改稿)
2025-03-09 22:26 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 拋 物 線基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1．拋物線定義：平面內(nèi)到 和 距離 的點(diǎn)的軌跡叫拋物線， 叫拋物線的焦點(diǎn)， 叫做拋物線的準(zhǔn)線(注意定點(diǎn)在定直線外，否則，軌跡將退化為一條直線)．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程① ，焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為 ．② ，焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為 ．③ ，焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為 ．④ ，焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為 ．3．拋物線的幾何性質(zhì)：對(duì)進(jìn)行討論．① 點(diǎn)的范圍： 、 ．② 對(duì)稱(chēng)性：拋物線關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng)．③ 離心率 ．④ 焦半徑公式：設(shè)F是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上一點(diǎn)，則 ．⑤ 焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：設(shè)AB是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的一條弦(焦點(diǎn)弦)i) 若，則＝ ， ．ii) 若AB所在直線的傾斜角為(則＝ ．特別地，當(dāng)時(shí)，AB為拋物線的通徑，且＝ ．iii) S△AOB＝ （表示成P與θ的關(guān)系式）．iv) 為定值，且等于 ．典型例題例1. 已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，求拋物線的方程和n的值．解：設(shè)拋物線方程為，則焦點(diǎn)是F∵點(diǎn)A(－3，n)在拋物線上，且| AF |＝5故解得P＝4，故所求拋物線方程為變式訓(xùn)練1：求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是x軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于6的拋物線方程．解：因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸是軸，可設(shè)拋物線方程為或 ∵，∴p＝12故拋物線方程為或例2. 已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B．(1) 若，求直線l的方程．(2) 求的最小值．解：(1)解法一：設(shè)直線的方程為：代入整理得，設(shè)則是上述關(guān)于的方程的兩個(gè)不同實(shí)根，所以根據(jù)拋物線的定義知：| AB |＝＝若，則即直線有兩條，其方程分別為：解法二：由拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式|AB|＝(θ為AB的傾斜角)易知sinθ＝177。，即直線AB的斜率k＝tanθ＝177。，故所求直線方程為：或.(2) 由(1)知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，|AB|有最小值4．解法二：由(1)知|AB|＝＝∴ |AB|min＝4 (此時(shí)sinθ＝1，θ＝90176。)變式訓(xùn)練2：過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線 （ ）A．有且僅有一條 B．有且僅有兩條C．有無(wú)數(shù)條 D．不存在解：B例3. 若A(3，2)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，P為拋物線上任意一點(diǎn)，求的最小值及取得最小值時(shí)的P的坐標(biāo)．解：拋物線的準(zhǔn)線方程為過(guò)P作PQ垂直于準(zhǔn)線于Q點(diǎn)，由拋物線定義得|PQ|＝| PF |，∴| PF |＋| PA |＝| PA |＋| PQ |要使| PA |＋| PQ |最小，A、P、Q三點(diǎn)必共線，即AQ垂直于準(zhǔn)線，AQ與拋物線的交點(diǎn)為P點(diǎn)從而|PA|＋|PF|的最小值為此時(shí)P的坐標(biāo)為(2，2)1.（2008遼寧理，10）已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)（0，2）的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為 .答案 變式訓(xùn)練3：一個(gè)酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的方程是x2，在杯內(nèi)放入一個(gè)玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑r的取值范圍是 。解：例4. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，兩點(diǎn)在拋物線y＝2x2上，l是AB的垂直平分線．(1)當(dāng)且僅當(dāng)x1＋x2取何值時(shí)，直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F？證明你的結(jié)論？(2)當(dāng)直線l的斜率為2時(shí)，求在y軸上的截距的取值范圍．解：(1)F∈l|FA|＝|FB|A、B兩點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離相等．∵拋物線的準(zhǔn)線是x軸的平行線，y1≥0，y2≥0，依題意y1，y2不同時(shí)為0．∴上述條件等價(jià)于y1＝y(tǒng)2(x1＋x2)(x1－x2)＝0∵x1≠x2 ∴x1＋x2＝0即當(dāng)且僅當(dāng)x1＋x2＝0時(shí)，l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F．(2)設(shè)l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為y＝2x＋b，過(guò)點(diǎn)A、B的直線方程可寫(xiě)為y＝－x＋m所以xx2滿(mǎn)足方程：2x2＋x－m＝0且x1＋x2＝－，由于A、B為拋物線上不同的兩點(diǎn)，所以△＝＋8m＞0，即m＞－設(shè)AB之中點(diǎn)為N(x0，y0)，則x0＝y(tǒng)0＝－x0＋m＝＋m由N∈l得：＋m＝－＋b于是b＝＋m＞－＝即l在y軸上截距的取值范圍是(，＋)變式訓(xùn)練4：正方形ABCD中，一條邊AB在直線y＝x＋4上，另外兩頂點(diǎn)C、D在拋物線y2＝x上，求正方形的面積．設(shè)C、D的坐標(biāo)分別為(y12，y1)，(y22，y2)( y1 y2)，則直線CD的斜率為1．∴ ＝＝1，即y1＋y2＝1 ①又| CD |＝＝＝(y1－y2)| BC |＝(y12－y1＋4恒正)由| CD |＝| BC |，有(y1－y2)＝ ②解①、② 得 y1＝2或y1＝3當(dāng)y1＝2時(shí)，有| BC |＝3，此時(shí)SABCD＝18當(dāng)y1＝3時(shí)，有| BC |＝5，此時(shí)SABCD＝50∴ 正方形的面積為18或50．小結(jié)歸納1．求拋物線方程要注意頂點(diǎn)位置和開(kāi)口方向，以便準(zhǔn)確設(shè)出方程，然后用待定系數(shù)法．2．利用好拋物線定義，進(jìn)行求線段和的最小值問(wèn)題的轉(zhuǎn)化．3．涉及拋物線的弦的中點(diǎn)和弦長(zhǎng)等問(wèn)題要注意利用韋達(dá)定理，能避免求交點(diǎn)坐標(biāo)的復(fù)雜運(yùn)算．解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)．基礎(chǔ)過(guò)關(guān)第4課時(shí) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，常用研究方法是將曲線方程與直線方程聯(lián)立，由所得方程組的解的個(gè)數(shù)來(lái)決定，一般地，消元后所得一元二次方程的判別式記為△，△0時(shí)，有兩個(gè)公共點(diǎn)，△＝0時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)，△0時(shí)，沒(méi)有公共點(diǎn)．但當(dāng)直線方程與曲線方程聯(lián)立的方程組只有一組解（即直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)）時(shí)，直線與曲線未必相切，在判定此類(lèi)情形時(shí)，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合．（對(duì)于雙曲線，重點(diǎn)注意與漸近線平行的直線，對(duì)于拋物線，重點(diǎn)注意與對(duì)稱(chēng)軸平行的直線）2．直線與圓錐曲線的交點(diǎn)間的線段叫做圓錐曲線的弦．設(shè)弦AB端點(diǎn)的坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2),直線AB的斜率為k，則：｜AB｜=————————或：—————————．利用這個(gè)公式求弦長(zhǎng)時(shí)，要注意結(jié)合韋達(dá)定理．當(dāng)弦過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)時(shí)，可用焦半徑進(jìn)行運(yùn)算．3．中點(diǎn)弦問(wèn)題：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓上不同的兩點(diǎn)，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0
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