20xx年高考數(shù)學(xué)回歸課本不等式教案舊人教版(編輯修改稿)
2025-03-09 22:26 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 以同理，所以例13 已知0≤a, b, c≤1，求證：≤2?！咀C明】 先證 ①即a+b+c≤2bc+2.即證(b1)(c1)+1+bc≥a.因?yàn)?≤a, b, c≤1，所以①式成立。同理三個(gè)不等式相加即得原不等式成立。（9）利用函數(shù)的思想。例14 已知非負(fù)實(shí)數(shù)a, b, c滿足ab+bc+ca=1，求f(a, b, c)=的最小值?！窘狻? 當(dāng)a, b, c中有一個(gè)為0，另兩個(gè)為1時(shí)，f(a, b, c)=，以下證明f(a, b, c) ≥. 不妨設(shè)a≥b≥c，則0≤c≤, f(a, b, c)=因?yàn)?=(a+b)c+ab≤+(a+b)c，解關(guān)于a+b的不等式得a+b≥2(c).考慮函數(shù)g(t)=, g(t)在[）上單調(diào)遞增。又因?yàn)?≤c≤，所以3c2≤1. 所以c2+a≥4c2. 所以2≥所以f(a, b, c)=≥==≥下證0 ① c2+6c+9≥9c2+9≥0 因?yàn)?，所以①式成立。所以f(a, b, c) ≥，所以f(a, b, c)min=2．幾個(gè)常用的不等式。（1）柯西不等式：若ai∈R, bi∈R, i=1, 2, …, n，則等號當(dāng)且僅當(dāng)存在λ∈R，使得對任意i=1, 2, , n, ai=λbi, 變式1：若ai∈R, bi∈R, i=1, 2, …, n，則等號成立條件為ai=λbi,(i=1, 2, …, n)。變式2：設(shè)ai, bi同號且不為0(i=1, 2, …, n)，則等號成立當(dāng)且僅當(dāng)b1=b2=…=bn.（2）平均值不等式：設(shè)a1, a2,…,an∈R+，記Hn=, Gn=, An=，則Hn≤Gn≤An≤Qn. 即調(diào)和平均≤幾何平均≤算術(shù)平均≤平方平均。其中等號成立的條件均為a1=a2=…=an.【證明】 由柯西不等式得An≤Qn，再由Gn≤An可得Hn≤Gn，以下僅證Gn≤An. 1）當(dāng)n=2時(shí)，顯然成立；2）設(shè)n=k時(shí)有Gk≤Ak，當(dāng)n=k+1時(shí)，記=Gk+1.因?yàn)閍1+a2+…+ak+ak+1+(k1)Gk+1≥≥2kGk+1, 所以a1+a2+…+ak+1≥(k+1)Gk+1，即Ak+1≥Gk+1.所以由數(shù)學(xué)歸納法，結(jié)論成立。（3）排序不等式：若兩組實(shí)數(shù)a1≤a2≤…≤an且b1≤b2≤…≤bn，則對于b1, b2, …, bn的任意排列，有a1bn+a2bn1+…+anb1≤≤a1b1+a2b2+…+anbn.【證明】 引理：記A0=0，Ak=，則 =（阿貝爾求和法）。證法一：因?yàn)閎1≤b2≤…≤bn，所以≥b1+b2+…+bk.記sk=( b1+b2+…+bk)，則sk≥0(k=1, 2, …, n)。所以(a1b1+a2b2+…+anbn)= +snan≤0.最后一個(gè)不等式的理由是ajaj+1≤0(j=1, 2, …, n1, sn=0),所以右側(cè)不等式成立，同理可證左側(cè)不等式。證法二：（調(diào)整法）考察，若，則存在。若(j≤n1)，則將與互換。因
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