20xx年高考數(shù)學(xué)回歸課本三角函數(shù)教案舊人教版(編輯修改稿)
2025-03-09 22:26 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ,=2（因?yàn)?a+b)2≤2(a2+b2)），且|sinx|≤1≤，所以0≤sinx+≤2，所以當(dāng)=sinx，即x=2kπ+(k∈Z)時(shí), ymax=2，當(dāng)=sinx，即x=2kπ(k∈Z)時(shí), ymin=0。例6 設(shè)0π，求sin的最大值?！窘狻恳?yàn)?π，所以，所以sin0, cos0.所以sin（1+cos）=2sincos2= ≤=當(dāng)且僅當(dāng)2sin2=cos2, 即tan=, =2arctan時(shí)，sin(1+cos)取得最大值。例7 若A，B，C為△ABC三個(gè)內(nèi)角，試求sinA+sinB+sinC的最大值?！窘狻? 因?yàn)閟inA+sinB=2sincos, ①sinC+sin, ②又因?yàn)?，③由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin≤4sin,所以sinA+sinB+sinC≤3sin=,當(dāng)A=B=C=時(shí)，（sinA+sinB+sinC）max=.注：三角函數(shù)的有界性、|sinx|≤|cosx|≤和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函數(shù)的單調(diào)性等是解三角最值的常用手段。5．換元法的使用。例8 求的值域?！窘狻? 設(shè)t=sinx+cosx=因?yàn)樗杂忠驗(yàn)閠2=1+2sinxcosx,所以sinxcosx=，所以，所以因?yàn)閠1，所以，所以y1.所以函數(shù)值域?yàn)槔? 已知a0=1, an=(n∈N+)，求證：an.【證明】 由題設(shè)an0，令an=tanan, an∈，則an=因?yàn)?，an∈，所以an=，所以an=又因?yàn)閍0=tana1=1，所以a0=，所以又因?yàn)楫?dāng)0x時(shí)，tanxx，所以注：換元法的關(guān)鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。另外當(dāng)x∈時(shí)，有tanxxsinx，這是個(gè)熟知的結(jié)論，暫時(shí)不證明，學(xué)完導(dǎo)數(shù)后，證明是很容易的。6．圖象變換：y=sinx(x∈R)與y=Asin(x+)(A, , 0).由y=sinx的圖象向左平移個(gè)單位，然后保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，然后再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖象；也可以由y=sinx的圖象先保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模詈笙蜃笃揭苽€(gè)單位，得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖象。例10 例10 已知f(x)=sin(x+)(0, 0≤≤π)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求和的值?！窘狻?由f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)=f(x)，所以sin(+)=sin(x+)，所以cossinx=0，對任意x∈R成立。又0≤≤π，解得=，因?yàn)閒(x)圖象關(guān)于對稱，所以=0。取x=0，得=0，所以sin所以(k∈Z)，即=(2k+1) (k∈Z).又0，取k=0時(shí)，此時(shí)f(x)=sin(2x+)在[0，]上是減函數(shù)；取k=1時(shí)，=2，此時(shí)f(x)=sin(2x+)在[0，]上是減函數(shù)；取k=2時(shí)，≥，此時(shí)f(x)=sin(x+)在[0，]上不是單調(diào)函數(shù)，綜上，=或2。7．三角公式的應(yīng)用。例11 已知sin(αβ)=，sin(α+β)= ，且αβ∈，α+β∈，求sin2α,cos2β的值。【解】 因?yàn)棣力隆?，所以cos(αβ)=又因?yàn)棣?β∈，所以cos(α+β)=所以sin2α=sin[(α+β)+(αβ)]=sin(α+β)cos(αβ)+cos(α+β)sin(αβ)=,cos2β=cos[(α+β)(αβ)]=cos(α+β)cos(αβ)+sin(α+β)sin(αβ)=1.例12 已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且，試求的值?！窘狻? 因?yàn)锳=1200C，所以cos=cos(600C)，又由于=，所以=0。解得或。又0，所以。例13
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