20xx年高考數學回歸課本三角函數教案舊人教版(編輯修改稿)
2025-03-09 22:26 本頁面
【文章內容簡介】 ,=2（因為(a+b)2≤2(a2+b2)），且|sinx|≤1≤，所以0≤sinx+≤2，所以當=sinx，即x=2kπ+(k∈Z)時, ymax=2，當=sinx，即x=2kπ(k∈Z)時, ymin=0。例6 設0π，求sin的最大值?！窘狻恳驗?π，所以，所以sin0, cos0.所以sin（1+cos）=2sincos2= ≤=當且僅當2sin2=cos2, 即tan=, =2arctan時，sin(1+cos)取得最大值。例7 若A，B，C為△ABC三個內角，試求sinA+sinB+sinC的最大值。【解】 因為sinA+sinB=2sincos, ①sinC+sin, ②又因為，③由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin≤4sin,所以sinA+sinB+sinC≤3sin=,當A=B=C=時，（sinA+sinB+sinC）max=.注：三角函數的有界性、|sinx|≤|cosx|≤和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函數的單調性等是解三角最值的常用手段。5．換元法的使用。例8 求的值域?！窘狻? 設t=sinx+cosx=因為所以又因為t2=1+2sinxcosx,所以sinxcosx=，所以，所以因為t1，所以，所以y1.所以函數值域為例9 已知a0=1, an=(n∈N+)，求證：an.【證明】 由題設an0，令an=tanan, an∈，則an=因為，an∈，所以an=，所以an=又因為a0=tana1=1，所以a0=，所以又因為當0x時，tanxx，所以注：換元法的關鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。另外當x∈時，有tanxxsinx，這是個熟知的結論，暫時不證明，學完導數后，證明是很容易的。6．圖象變換：y=sinx(x∈R)與y=Asin(x+)(A, , 0).由y=sinx的圖象向左平移個單位，然后保持橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，然后再保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，得到y=Asin(x+)的圖象；也可以由y=sinx的圖象先保持橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，再保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，最后向左平移個單位，得到y=Asin(x+)的圖象。例10 例10 已知f(x)=sin(x+)(0, 0≤≤π)是R上的偶函數，其圖象關于點對稱，且在區(qū)間上是單調函數，求和的值?！窘狻?由f(x)是偶函數，所以f(x)=f(x)，所以sin(+)=sin(x+)，所以cossinx=0，對任意x∈R成立。又0≤≤π，解得=，因為f(x)圖象關于對稱，所以=0。取x=0，得=0，所以sin所以(k∈Z)，即=(2k+1) (k∈Z).又0，取k=0時，此時f(x)=sin(2x+)在[0，]上是減函數；取k=1時，=2，此時f(x)=sin(2x+)在[0，]上是減函數；取k=2時，≥，此時f(x)=sin(x+)在[0，]上不是單調函數，綜上，=或2。7．三角公式的應用。例11 已知sin(αβ)=，sin(α+β)= ，且αβ∈，α+β∈，求sin2α,cos2β的值?！窘狻? 因為αβ∈，所以cos(αβ)=又因為α+β∈，所以cos(α+β)=所以sin2α=sin[(α+β)+(αβ)]=sin(α+β)cos(αβ)+cos(α+β)sin(αβ)=,cos2β=cos[(α+β)(αβ)]=cos(α+β)cos(αβ)+sin(α+β)sin(αβ)=1.例12 已知△ABC的三個內角A，B，C成等差數列，且，試求的值?！窘狻? 因為A=1200C，所以cos=cos(600C)，又由于=，所以=0。解得或。又0，所以。例13
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