基本不等式的證明教案(編輯修改稿)
2024-10-27 19:03 本頁面
【文章內容簡介】 評：形如f(x)=x(1ax)或f(x)=x2(1ax2)等可有兩種變形方法：一是巧乘常數(shù)；二是巧提常數(shù)，應用時要注意活用。技巧三、分離常數(shù)例已知x179。5452121x1(x185。1)的值域。，求函數(shù)y＝x（1－2x）的最大值。，則f(x)=x3x+32x4542有（）32A、最大值B、最小值C、最大值D、最小值32點評：通過加減常數(shù)，分離出一個常數(shù)是分式函數(shù)求值域常用的方法，這里一定要加減好“常數(shù)”，以利于問題的解決。技巧四、活用常數(shù)例若x,y206。R且滿足點評：通過配湊“1”并進行“1”的代換，整理后得到基本不等式的形式，減少了使用基本不等式的次數(shù)，有效地避免了等號不能同時取到的麻煩。技巧五、統(tǒng)一形式+例已知a,b,c206。R，求(a+b+c)(+4x+16y=1，求x＋y的最小值。1a+b+1c)的最小值。點評：根據分母的特點，進行結構調整為統(tǒng)一的形式，這樣便能快速求解。含有根號的問題也要注意形式的統(tǒng)一（如求函數(shù)y=xx2(0x1)可變形為y=第二部分：均值定理證明不等式的方法技巧。x(1x)等）1．輪換對稱型例1 若a,b,c是互不相等的實數(shù)，求證：a+b+c222ab+bc+：分段應用基本等式，然后整體相加(乘)得結論，是證明輪換對稱不等式的常用技巧。2．利用“1”的代換型111+已知a,b,c206。R,且 a+b+c=1,求證 ++179。點評：做“1”的代換。.a,b206。R,a+b=1求證： a+++b+163。點評：依據求證式的結構，湊出常數(shù)因子，是解決此類問題的關鍵。為脫去左邊的根號，a+12,b+將1246。1246。230。230。轉換成 1231。a+247。,1231。b+247。,然后逆向運22248。2248。232。232。用均值不等式： 若a,b206。R則 ab163。+a+b2.4．挖掘隱含條件證明不等式1246。230。1246。1230。+a,b206。R,a+b=1求證：231。1+247。231。1+247。179。.a248。232。b248。9 232。例4 已知236。a,b206。R+,a+b=11239。+2222。ab163。說明a,b206。R,a+b=1的背后隱含237。230。a+b246。4247。239。ab163。231。232。2248。點評:由于238。著一個不等式ab163。.5．用均值不等式的變式形式證明不等式a+b+例5已知a,b,c206。R,求證：+b+c+c+a179。2(a+b+c).點評：本題的關鍵在于對a+b,b+c,c+a的處理，如果能找出a+b與a+b間的關系，問題就可以222222解決，注意到+a+b179。2ab222。2a+b()179。(a+b)2222。2a+b179。a+b (其中a,b,c206。R)即可。解題時要注意a+b179。2ab的a+b變式應用。常用179。a+b2(其中a,b206。R)來解決有關根式不等式的問題.+第四篇：基本不等式的證明重要不等式及其應用教案教學目的(1)使學生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當且僅當a=b時取“=”號)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，當且僅當a=b=c時取“=”號)及其推論，并能應用它們證明一些不等式．(2)通過對定理及其推論的證明與應用，培養(yǎng)學生運用綜合法進行推理的能力．教學過程一、引入新課師：上節(jié)課我們學過證明不等式的哪一種方法？它的理論依據是什么？生：求差比較法，即師：由于不等式復雜多樣，僅有比較法是不夠的．我們還需要學習一些有關不等式的定理及證明不等式的方法．如果a、b∈R，那么(a－b)2屬于什么數(shù)集？為什么？生：當a≠b時，(a－b)2＞0，當a=b時，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈R+∪{0}．師：下面我們根據(a－b)2∈R+∪{0}這一性質，來推導一些重要的不等式，同時學習一些證明不等式的方法．二、推導公式1．奠基師：如果a、b∈R，那么有(a－b)2≥0．①把①左邊展開，得a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．②②式表明兩個實數(shù)的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，它是一個很重要的絕對不等式，對任何兩實數(shù)a、b都成立．由于取“=”號這種特殊情況，在以后有廣泛的應用，因此通常要指出“=”號成立的充要條件．②式中取等號的充要條件是什么呢？師：充要條件通常用“當且僅當”來表達．“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當且僅當a=b時取“=”號)．以公式①為基礎，運用不等式的性質推導公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎，用綜合法可以推出更多的不等式．現(xiàn)在讓我們共同來探索．2．探索師：公式②反映了兩個實數(shù)平方和的性質，下面我們研究兩
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