基本不等式的證明教案-文庫吧資料
2024-10-27 19:03本頁面
【正文】 ，推出不等式a3＋b3＋c3≥3abc，這種方法具有一般性．事實(shí)上，引入一個(gè)一般的輔助不等式an＋bn≥an1b＋abn1(n＞1)，由迭代、疊加，再應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法就可以證出公式正因?yàn)樯鲜鲎C法具有一般性，即揭示了證法的本質(zhì)(共性)，就必然有利于遞推與探索．又由(a－b)2≥0非常容易推出a2＋b2≥2ab，所以它是“天然”的奠基式．于2ab，因此，凡能用配方法證明的問題，必能用基本不等式證明，反之亦真．可見配方法的重要作用．它的重要性應(yīng)在上一節(jié)比較法中就予以強(qiáng)調(diào)．當(dāng)學(xué)生在教師的指導(dǎo)下和教師一起探索問題時(shí)，這個(gè)探索本身就是培養(yǎng)學(xué)生今后獨(dú)立去獲取知識(shí)的過程．第五篇：基本不等式教案基本不等式【教學(xué)目標(biāo)】掌握基本不等式，能正確應(yīng)用基本不等式的方法解決最值問題用易錯(cuò)問題引入要研究的課題，通過實(shí)踐讓同學(xué)對基本不等式應(yīng)用的二個(gè)條件有進(jìn)一步的理解會(huì)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想研究問題 【教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn): 基本不等式應(yīng)用的條件和等號(hào)成立的條件 教學(xué)難點(diǎn)：基本不等式等號(hào)成立的條件 【教學(xué)過程】一、設(shè)置情景，引發(fā)探究 問題一：x+1有最小值嗎？ x2問題二：x+3+1x+32179。 c sin B=2c2sinAcos A=c2AB=c，BC=a，AC=b，則2ab=22ab=6abc．∴a3＋b3＋c3≥3abc⑥(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào))．師：這是課本中的不等式定理2，即三個(gè)正實(shí)數(shù)的立方和不小于它們的積的3倍．同學(xué)們可能想到n個(gè)正實(shí)數(shù)的立方和會(huì)有什么結(jié)果，進(jìn)一步還會(huì)想到4個(gè)正數(shù)的4次方的和會(huì)有什么結(jié)果，直至n個(gè)正數(shù)的n次方的和會(huì)有什么結(jié)果．這些問題留給同學(xué)們課外去研究．4．推論師：直接應(yīng)用公式②和⑥可以得到兩個(gè)重要的不等式．⑦(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))．這就是課本中定理1的推論．⑧(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào))．這就是課本中定理2的推論．當(dāng)ai∈R+(i=1，2，?，n)時(shí)，有下面的推廣公式(在中學(xué)不講它的證明)⑨(當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=?=an時(shí)取“=”號(hào))．何平均數(shù)．⑨式表明：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．這是一個(gè)著名的平均數(shù)不等式定理．現(xiàn)在只要求同學(xué)掌握n=3時(shí)的兩個(gè)公式，即⑦和⑧．三、小結(jié)(1)我們從公式①出發(fā)，運(yùn)用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學(xué)熟練掌握的是公式②、⑥、⑦、⑧．它們之間的關(guān)系可圖示如下：(2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②和⑥，在課本上是用比較法證明的．又如公式⑦也可以由①推出；用⑦還可以推出⑧；由⑦、⑧也可以推出②、⑥．但是不論哪種推導(dǎo)系統(tǒng)，其理論基礎(chǔ)都是實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)．四個(gè)公式中，②、⑦是基礎(chǔ)，最重要．它們還可以用幾何法或三角法證明．幾何法：構(gòu)造直角三角形ABC，使∠C=90176。2bc＋ba+b2(其中a,b206。2ab的a+b變式應(yīng)用。R)即可。2a+b179。2a+b()179。2(a+b+c).點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵在于對a+b,b+c,c+a的處理，如果能找出a+b與a+b間的關(guān)系，問題就可以222222解決，注意到+a+b179。.5．用均值不等式的變式形式證明不等式a+b+例5已知a,b,c206。點(diǎn)評(píng):由于238。232。ab163。4247。230。說明a,b206。+2222。a,b206。9 232。232。179。231。R,a+b=1求證：231。1230。230。R則 ab163。232。2248。b+247。a+247。230。1246。點(diǎn)評(píng)：依據(jù)求證式的結(jié)構(gòu)，湊出常數(shù)因子，是解決此類問題的關(guān)鍵。.a,b206。R,且 a+b+c=1,求證 ++179。x(1x)等）1．輪換對稱型例1 若a,b,c是互不相等的實(shí)數(shù)，求證：a+b+c222ab+bc+：分段應(yīng)用基本等式，然后整體相加(乘)得結(jié)論，是證明輪換對稱不等式的常用技巧。點(diǎn)評(píng)：根據(jù)分母的特點(diǎn)，進(jìn)行結(jié)構(gòu)調(diào)整為統(tǒng)一的形式，這樣便能快速求解。R，求(a+b+c)(+4x+16y=1，求x＋y的最小值。R且滿足點(diǎn)評(píng)：通過配湊“1”并進(jìn)行“1”的代換，整理后得到基本不等式的形式，減少了使用基本不等式的次數(shù)，有效地避免了等號(hào)不能同時(shí)取到的麻煩。則f(x)=x3x+32x4542有（）32A、最大值B、最小值C、最大值D、最小值32點(diǎn)評(píng)：通過加減常數(shù)，分離出一個(gè)常數(shù)是分式函數(shù)求值域常用的方法，這里一定要加減好“常數(shù)”，以利于問題的解決。1)的值域。技巧三、分離常數(shù)例已知x179。技巧一：加減常數(shù)例求函數(shù)y=x+點(diǎn)評(píng)：當(dāng)各項(xiàng)符號(hào)不確定時(shí)，必須分類討論，要保證代數(shù)式中的各項(xiàng)均為正。可計(jì)算得矩形的面積S=ab，正方形的面積S=(a+b2)，2由基本不等式2，得a+bab0（因?yàn)閍≠b等號(hào)不成立）。求證：在周長相等的矩形中，正方形的面積最大。8，并指出等號(hào)成立的條件。2，并指出等號(hào)成立的條件。21ab 2∴a＋b≥2ab 22(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)，這時(shí)Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個(gè)圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)所用過的“勾股方圓圖”，同學(xué)們在初中已經(jīng)見過．
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