【正文】 ．事實上，可以用比較法證明兩個數(shù)的平方和或三個數(shù)的立方和的不等式，但當n＞3，特別對n是奇數(shù)時，用比較法就困難了(因為這時難以配方與分解因式)．因此不具有一般性．而對綜合法，學生在初中證幾何題時已多次用過了(只是課本上沒有提到這個名稱)．現(xiàn)行課本中兩個不等式定理及其推論，是著名的平均值不等式：和它的等價形式當n=2，3時的特殊情況(當n=2時，ai的取值有所變化)．在中學不講一般形式，只講特殊情況是符合大綱要求的．由于普遍性總是寓于特殊性之中，因此，這兩個特例應是一般式的基礎．同時，這兩個特例之間應有緊密的聯(lián)系，在推導方法上也應該與一般式的證明有共性．這就是本教案的設計思想，因而改變了現(xiàn)行課本的證法．這里，我們用由定理1先推出一個輔助不等式a3＋b3≥a2b＋ab2，然后經(jīng)迭代、疊加，推出不等式a3＋b3＋c3≥3abc，這種方法具有一般性．事實上，引入一個一般的輔助不等式an＋bn≥an1b＋abn1(n＞1)，由迭代、疊加，再應用數(shù)學歸納法就可以證出公式正因為上述證法具有一般性，即揭示了證法的本質(共性)，就必然有利于遞推與探索．又由(a－b)2≥0非常容易推出a2＋b2≥2ab，所以它是“天然”的奠基式．于2ab，因此，凡能用配方法證明的問題，必能用基本不等式證明，反之亦真．可見配方法的重要作用．它的重要性應在上一節(jié)比較法中就予以強調．當學生在教師的指導下和教師一起探索問題時，這個探索本身就是培養(yǎng)學生今后獨立去獲取知識的過程．第五篇：應用導數(shù)證明不等式應用導數(shù)證明不等式常澤武指導教師：任天勝（河西學院數(shù)學與統(tǒng)計學院 甘肅張掖 734000）摘要： 不等式在初等數(shù)學和高等代數(shù)中有廣泛的應用，證明方法很多，本文以函數(shù)的觀點來認識不等式，以導數(shù)為工具來證明不等式。 c sin B=2c2sinAcos A=c2AB=c，BC=a，AC=b，則2ab=22ab=6abc．∴a3＋b3＋c3≥3abc⑥(當且僅當a=b=c時取“=”號)．師：這是課本中的不等式定理2，即三個正實數(shù)的立方和不小于它們的積的3倍．同學們可能想到n個正實數(shù)的立方和會有什么結果，進一步還會想到4個正數(shù)的4次方的和會有什么結果，直至n個正數(shù)的n次方的和會有什么結果．這些問題留給同學們課外去研究．4．推論師：直接應用公式②和⑥可以得到兩個重要的不等式．⑦(當且僅當a=b時取“=”號)．這就是課本中定理1的推論．⑧(當且僅當a=b=c時取“=”號)．這就是課本中定理2的推論．當ai∈R+(i=1，2，?，n)時，有下面的推廣公式(在中學不講它的證明)⑨(當且僅當a1=a2=?=an時取“=”號)．何平均數(shù)．⑨式表明：n個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．這是一個著名的平均數(shù)不等式定理．現(xiàn)在只要求同學掌握n=3時的兩個公式，即⑦和⑧．三、小結(1)我們從公式①出發(fā)，運用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學熟練掌握的是公式②、⑥、⑦、⑧．它們之間的關系可圖示如下：(2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②和⑥，在課本上是用比較法證明的．又如公式⑦也可以由①推出；用⑦還可以推出⑧；由⑦、⑧也可以推出②、⑥．但是不論哪種推導系統(tǒng)，其理論基礎都是實數(shù)的平方是非負數(shù)．四個公式中，②、⑦是基礎，最重要．它們還可以用幾何法或三角法證明．幾何法：構造直角三角形ABC，使∠C=90176。2bc＋b可計算得矩形的面積S=ab，正方形的面積S=(a+b2)，2由基本不等式2，得a+bab0（因為a≠b等號不成立）。求證：在周長相等的矩形中，正方形的面積最大。8，并指出等號成立的條件。2，并指出等號成立的條件。21ab 2∴a＋b≥2ab 22(當且僅當a=b時取“=”號，這時Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個圖是我國古代數(shù)學家趙爽證明勾股定理時所用過的“勾股方圓圖”，同學們在初中已經(jīng)見過． 公式示：a+b179。ab=4SDABC 2如上左圖所示，顯然有c179。2公式小結(1)我們從公式①出發(fā)，運用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學熟練掌握的是公式①、②、③、⑤．它們之間的關系可圖示如下： 展開 迭代、疊加①配方② ③ 降換次元⑤(2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②，在課本上是用比較法證明的．但是不論哪種推導系統(tǒng)，其理論基礎都是實數(shù)的平方是非負數(shù)．(3)四個公式中，②、⑤是基礎，最重要．它們還可以用幾何法證明．+222幾何法：構造直角三角形ABC，使∠C=90176。2ab ∴a+b179。R+，在公式②中用a替換a，用替換b，立即得+到22a）+）179。a+b=2ab 22充要條件通常用“當且僅當”來表達．“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當且僅當a=b時取“=”號)．以公式①為基礎，運用不等式的性質推導公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎，用綜合法可以推出更多的不等式．現(xiàn)在讓我們共同來探索．2．探索公式②反映了兩個實數(shù)平方和的性質，下面我們研究兩個以上的實數(shù)的平方和，探索可能得到的結果．先考查三個實數(shù)．設a、b、c∈R，依次對其中的兩個運用公式②，有a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca．把以上三式疊加，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca③（當且僅當a=b=c時取“=”號)．以此類推：如果ai∈R，i=1，2，?，n，那么有22a12+a2+L+an179。今天，我們學習兩個最常用的基本不等式。例如，在周長相等時，圓的面積比正方形的面積大，正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。所以根據(jù)這一情況多補充了一些內(nèi)容，增加了課堂容量。三、教材、學生分析教材分析：兩個基本不等式為以后學習不等式的證明和求函數(shù)的最大值或最小值提供了一種方法，基本不等式的理解和掌握對以后的解題是很有幫助的。R)來解決有關根式不等式的問題.+第三篇：基本不等式的證明課題：基本不等式及其應用一、教學目的(1)認知：使學生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當且僅當a=b時取“=”號)和a+b179。常用179。解題時要注意a+b179。a+b (其中a,b,c206。(a+b)2222。2ab222。R,求證：+b+c+c+a179。著一個不等式ab163。2248。231。239。a+b246。R,a+b=1的背后隱含237。ab163。R+,a+b=11239。例4 已知236。b248。.a248。1+247。1+247。+a,b206。1246。+a+b2.4．挖掘隱含條件證明不等式1246