基本不等式的證明-文庫(kù)吧資料
2024-10-27 20:07本頁(yè)面
【正文】 僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))．這就是課本中基本不等式2 我們把a(bǔ)+b和ab分別叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)。2ab 即a+b179。a1a2+a2a3+L+ana1④(當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=?=an時(shí)取“=”號(hào))．④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時(shí)的特殊情況．③和④式不必當(dāng)作公式去記，但從它們的推導(dǎo)過(guò)程中可以學(xué)到一種處理兩項(xiàng)以上的和式問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想與方法——迭代與疊加．3．練習(xí)222求證：a+b+c+3≥2（a+b+c）4．基本不等式2直接應(yīng)用基本不等式1可以得到基本不等式2如果a、b、∈R，那么ab206。（二）推導(dǎo)公式1．奠基如果a、b∈R，那么有(a－b)2≥0①把①左邊展開(kāi)，得a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．②②式表明兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，也就是基本不等式1，對(duì)任何兩實(shí)數(shù)a、b都成立．由于取“=”號(hào)這種特殊情況，在以后有廣泛的應(yīng)用，因此通常要指出“=”號(hào)成立的充要條件．②式中取等號(hào)的充要條件是什么呢？學(xué)生回答：a=b，因?yàn)閍=b219。對(duì)這些不等關(guān)系的證明，常常會(huì)歸結(jié)為一些基本不等式。四、教學(xué)過(guò)程（一）引入新課客觀世界中，有些不等式關(guān)系是永遠(yuǎn)成立的。學(xué)生分析：學(xué)生在上新課之前都預(yù)習(xí)了本節(jié)內(nèi)容，對(duì)上課內(nèi)容有一定的理解。ab(a、b∈R+，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))，并能應(yīng)用它們證明一些不等2式．(2)情感：通過(guò)對(duì)定理及其推論的證明與應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用綜合法進(jìn)行推理的能力．二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：兩個(gè)基本不等式的掌握；難點(diǎn)：基本不等式的應(yīng)用。sin2A≤c2=a2＋b2(∵sin2A≤1)(當(dāng)且僅當(dāng)sinA=1，A=45176。c sin ABC=a，AC=b(a、b∈R)，222則a＋b=c表示以斜邊c為邊的正方形的面積．而+如上左圖所示，顯然有(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)，這時(shí)Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個(gè)圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)所用過(guò)的“勾股方圓圖”，同學(xué)們?cè)诔踔幸呀?jīng)見(jiàn)過(guò)．三角法：在Rt△ABC中，令∠C=90176。2ca＋c第一篇：基本不等式的證明重要不等式及其應(yīng)用教案教學(xué)目的(1)使學(xué)生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào))及其推論，并能應(yīng)用它們證明一些不等式．(2)通過(guò)對(duì)定理及其推論的證明與應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用綜合法進(jìn)行推理的能力．教學(xué)過(guò)程一、引入新課師：上節(jié)課我們學(xué)過(guò)證明不等式的哪一種方法？它的理論依據(jù)是什么？生：求差比較法，即師：由于不等式復(fù)雜多樣，僅有比較法是不夠的．我們還需要學(xué)習(xí)一些有關(guān)不等式的定理及證明不等式的方法．如果a、b∈R，那么(a－b)2屬于什么數(shù)集？為什么？生：當(dāng)a≠b時(shí)，(a－b)2＞0，當(dāng)a=b時(shí)，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈R+∪{0}．師：下面我們根據(jù)(a－b)2∈R+∪{0}這一性質(zhì)，來(lái)推導(dǎo)一些重要的不等式，同時(shí)學(xué)習(xí)一些證明不等式的方法．二、推導(dǎo)公式1．奠基師：如果a、b∈R，那么有(a－b)2≥0．①把①左邊展開(kāi)，得a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．②②式表明兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，它是一個(gè)很重要的絕對(duì)不等式，對(duì)任何兩實(shí)數(shù)a、b都成立．由于取“=”號(hào)這種特殊情況，在以后有廣泛的應(yīng)用，因此通常要指出“=”號(hào)成立的充要條件．②式中取等號(hào)的充要條件是什么呢？師：充要條件通常用“當(dāng)且僅當(dāng)”來(lái)表達(dá)．“當(dāng)”表示條件是充分的，“僅當(dāng)”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))．以公式①為基礎(chǔ)，運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎(chǔ)，用綜合法可以推出更多的不等式．現(xiàn)在讓我們共同來(lái)探索．2．探索師：公式②反映了兩個(gè)實(shí)數(shù)平方和的性質(zhì)，下面我們研究?jī)蓚€(gè)以上的實(shí)數(shù)的平方和，探索可能得到的結(jié)果．先考查三個(gè)實(shí)數(shù)．設(shè)a、b、c∈R，依次對(duì)其中的兩個(gè)運(yùn)用公式②，有a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc； c2＋a2≥2ca．把以上三式疊加，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca③(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào))．以此類(lèi)推：如果ai∈R，i=1，2，?，n，那么有④(當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=?=an時(shí)取“=”號(hào))．④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時(shí)的特殊情況．③和④式不必當(dāng)作公式去記，但從它們的推導(dǎo)過(guò)程中可以學(xué)到一種處理兩項(xiàng)以上的和式問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想與方法——迭代與疊加．3．再探索師：考察兩個(gè)以上實(shí)數(shù)的更高次冪的和，又能得到什么有趣的結(jié)果呢？先考查兩個(gè)實(shí)數(shù)的立方和．由于a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2)，啟示我們把②式變成a2－ab＋b2≥ab，兩邊同乘以a＋b，為了得到同向不等式，這里要求a、b∈R+，得到a3＋b3≥a2b＋ab2．⑤考查三個(gè)正實(shí)數(shù)的立方和又具有什么性質(zhì)呢？生：由③式的推導(dǎo)方法，再增加一個(gè)正實(shí)數(shù)c，對(duì)b、c，c、a迭代⑤式，得到b3＋c3≥b2c＋bc2，c3＋a3≥c2a＋ca
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