高三數(shù)學基本不等式(編輯修改稿)
2024-12-15 04:10 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 2) －5 ( t1－ t2)t1t2 ＝ (t1－ t2)??????1 －5t1t2. ∴g(t) 在 [1,2]上是減函數(shù)， ∴ g(t)min＝ g(2)＝ 2＋ ， ∴ f(x)min＝ ，等號成立的條件是 sin2 x＋ 1＝ 2. sin2 x＝ 1， sin x＝ 177。 1， ∴ x＝ kπ ＋ (k∈ Z)， 故 f(x)的最小值是 . 52 ＝92 92 92 π2 ＝ (t1－ t2) . ∵ t1t2且 t1， t2∈ [1,2]， ∴ t1－ t20， t1t2－ 50， 故 g(t1)－ g(t2)0， ∴ g(t1)g(t2)， t 1t 2 － 5t 1t 2 【 方法點評 】 (1)各數(shù) (或式 )均為正； (2)和或積為定值； (3)等號能否成立，即“一正、二定、三相等”，這三個條件缺一不可． 2．基本不等式的幾種變形公式 對于基本不等式，不僅要記住原始形式，而且還要掌握它的幾種常見的變形形式及公式的逆運用等，如： 2 a ba ＋ b ≤ ab ≤a ＋ b2 ≤a 2 ＋ b 22 ( a 0 ， b 0 ) ． 3．創(chuàng)設應用基本不等式的條件 (1)合理拆分項或配湊因式是常用的技巧，而拆與湊的目標在于使等號成立，且每項為正值，必要時需出現(xiàn)積為定值或和為定值． (2)當多次使用基本不等式時，一定要注意每次是否能保證等號成立，并且要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯，因此在利用基本不等式處理問題時，列出等號成立的條件不僅是解題的必要步驟，而且也是檢驗轉換是否有誤的一種方法． 1． (1)設 0x2，求函數(shù) y＝ 的最大值． (2)已知 x0， y0且 x＋ y＝ 1，求 的最小值． 【 解析 】 (1)∵0x2 ， ∴ 03x6,8－ 3x20， 3 x ( 8 － 3x ) 8x ＋2y ∴ y ＝ 3x ( 8 － 3x ) ≤3x ＋ ( 8 － 3x )2＝82＝ 4 ， 當且僅當 3x ＝ 8 － 3x ，即 x ＝43時，取等號 ． ∴ 當 x ＝43時， y ＝ 3x ( 8 － 3x ) 的最大值是 4. ( 2 ) ∵ x 0 ， y0 ，且 x ＋ y ＝ 1 ， ∴8x＋2y＝??????8x＋2y(x ＋ y) ＝ 10 ＋8yx＋2xy≥ 10 ＋ 28yx2xy＝ 1 8 . 當且僅當8yx＝2xy，即 x ＝ 2y 時等號成立， ∴ 當 x ＝23， y ＝13時，8x＋2y有最小值 18. 證明不等式 (1)已知 a0， b0， a＋ b＝ 1，求證： ≥ 4. (2)證明： a4＋ b4＋ c4＋ d4≥4abcd. 【 思路點撥 】 (1)利用 a＋ b＝ 1將要證不等式中的 1代換，即可得證． (2)利用 a2＋ b2≥2ab 兩兩結合即可求證．但需兩次利用不等式，注意等號成立的條件． 【 自主探究 】 (1)方法一： ∵ a0， b0， a＋ b＝ 1， 1a ＋1b ∴1a＋1b＝a ＋ ba＋a ＋ bb＝ 2 ＋ba＋ab≥ 2 ＋ 2baab＝ 4( 當且僅當 a＝ b ＝12時等號成立 ) ． ∴1a＋1b≥ 4. ∴ 原不等式成立． 方法二： ∵ a0， b0， a＋ b＝ 1， ∴1a＋1b＝ (a ＋ b)??????1a＋1b ＝ 2 ＋ab＋ba≥ 2 ＋ 2abba＝ 4. ∴ 原不等式成立．
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