20xx用雙線性變換法設(shè)計原型低通為巴特沃茲型的數(shù)字iir高通濾波器(編輯修改稿)
2025-01-17 01:18 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 F的系統(tǒng)函數(shù)是由S平面左半部分的極點(SP3，SP4，SP5)組成的，它們分別為： 系統(tǒng)函數(shù)為 令 ，得歸一化的三階BF： 如果要還原的話，則有 2. 4 雙線性變法法 目的：將模擬帶通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通濾波器 為了克服沖激響應(yīng)法可能產(chǎn)生的頻率響應(yīng)的混疊失真，這是因為從S平面到Ｚ平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺點，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到π/T～π/T之間，再用z=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的π/T～π/T一條橫帶里；第二步再通過標準變換關(guān)系z=es1T將此橫帶變換到整個Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖2 圖2雙線性變換的映射關(guān)系 為了將S平面的整個虛軸jΩ壓縮到S1平面jΩ1軸上的π/T到π/T段上，可以通過以下的正切變換實現(xiàn) 式中,T仍是采樣間隔。
當Ω1由π/T經(jīng)過0變化到π/T時，Ω由∞經(jīng)過0變化到+∞，也即映射了整個jΩ軸。將式寫成 將此關(guān)系解析延拓到整個S平面和S1平面，令jΩ=s，jΩ1=s1，則得 再將S1平面通過以下標準變換關(guān)系映射到Z平面 z=es1T 從而得到S平面和Z平面的單值映射關(guān)系為： 首先,把z=ejω，可得 即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。
其次，將s=σ+jΩ代入式，得 因此 由此看出，當σ當σ0時，|z|1。也就是說，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。
雙線性變換法優(yōu)缺點：雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因為S平面與Z平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系。S平面整個jΩ軸單值地對應(yīng)于Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系。這個關(guān)系如式所示，重寫如下： 上式表明，S平面上Ω與Z平面的ω成非線性的正切關(guān)系 由圖3看出，在零頻率附近，模擬角頻率Ω與數(shù)字頻率ω之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當Ω進一步增加時，ω增長得越來越慢，最后當Ω→∞時，ω終止在折疊頻率ω=π處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。
圖3雙線性變換法的頻率變換關(guān)系 但是雙線性變換的這個特點是靠頻率的嚴重非線性關(guān)系而得到的，如式（及圖4所示。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問題。首先，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會有畸變，如圖5所示。
圖5雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射 對于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個分段邊緣的臨界頻率點產(chǎn)生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過頻率的預(yù)畸來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。
2. 5 設(shè)計步驟 根據(jù)以上FIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法，下面運用雙線性變換法基于MATLAB設(shè)計一個FIR高通濾波器，其中通帶邊界頻率為500Hz，阻帶邊界頻率分別為400Hz，通帶最大衰減1dB，阻帶最小衰減40dB，抽樣頻率為2000Hz (1)確定性能指標 在設(shè)計高通濾波器之前,首先根據(jù)工程實際的需要確定濾波器的技術(shù)指標: (2)頻率預(yù)畸變 用Ω=2/T*tan(w/2)對高通數(shù)字濾波器H(z)的數(shù)字邊界頻率預(yù)畸變,得到高通模擬濾波器H(s)的邊界頻率主要是通帶截止頻率Wp1。阻帶截止頻率Ws1，的轉(zhuǎn)換。
(3)模擬高通性能指標轉(zhuǎn)換成模擬低通性能指標 WP=1； %歸一化處理 WS=WP* Wp1/ Ws1； (4)模擬低通濾波器的構(gòu)造 借助巴特沃茲濾波器得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)。
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