高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題技巧總結(jié)-wenkub
2023-04-19 05:08:01 本頁(yè)面
【正文】 B(4,1)與到焦點(diǎn)F的距離和最小,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 。 （3）拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問(wèn)題用定義解決更直接簡(jiǎn)明。第一定義中，r1+r2=2a。第二定義中，r1=ed1 r2=ed2。韋達(dá)定理法 因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問(wèn)題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問(wèn)題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問(wèn)題，弦長(zhǎng)問(wèn)題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用。分析：（1）A在拋物線外，如圖，連PF，則，因而易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小。（1）的最小值為 （2）的最小值為 分析：PF為橢圓的一個(gè)焦半徑，常需將另一焦半徑或準(zhǔn)線作出來(lái)考慮問(wèn)題。列式的主要途徑是動(dòng)圓的“半徑等于半徑”（如圖中的）。2RsinA∴即 （*）∴點(diǎn)A的軌跡為雙曲線的右支（去掉頂點(diǎn)）∵2a=6，2c=10∴a=3， c=5， b=4所求軌跡方程為 （x3）點(diǎn)評(píng)：要注意利用定義直接解題，這里由（*）式直接用定義說(shuō)明了軌跡（雙曲線右支）例定長(zhǎng)為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在y=x2上移動(dòng)，AB中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到x軸的最短距離。[1+(x1+x2)2]=9 ④由②、③得2x1x2=(2x0)22y0=4x022y0代入④得 [(2x0)2(8x024y0)]例已知橢圓過(guò)其左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓及準(zhǔn)線從左到右依次變于A、B、C、D、設(shè)f(m)=,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。1已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左焦點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)、右焦點(diǎn)、右準(zhǔn)線的距離依次成等差數(shù)列，若直線l與此橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)M為(2，1)，求直線l的方程和橢圓方程。A設(shè)中心為(x，y)，則另一焦點(diǎn)為(2x1，2y)，則原點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離和為4得，∴ ①又ca,∴∴(x1)2+y24 ②，由①，②得x≠1，選A左準(zhǔn)線為x=，M到左準(zhǔn)線距離為 則M到左焦點(diǎn)的距離為設(shè)弦為AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)AB中點(diǎn)為(x，y)，則y1=2x12，y2=2x22，y1y2=2(x12x22)∴ ∴2=21設(shè)橢圓方程為由題意：C、2C、成等差數(shù)列，∴，∴a2=2(a2b22DDFFF2+2222222大案要案 000),∴a2=2b2橢圓方程為，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)則① ②①②得2222222∴即 ∴k=1直線AB方程為y1=x+2即y=x+3， 代入橢圓方程即x2+2y22b2=0得x2+2(x+3)22b2=0∴3x2+12x+182b2=0， 解得b2=12， ∴橢圓方程為，直線l方程為xy+3=01證明：設(shè)A(x1，y1)，D(x2，y2)，AD中點(diǎn)為M(x0，y0)直線l的斜率為k，則①② ①②得 ③設(shè)，④⑤則 ④⑤得 ⑥由③、⑥知M、均在直線上，而M、又在直線l上 ，若l過(guò)原點(diǎn)，則B、C重合于原點(diǎn)，命題成立若l與x軸垂直，則由對(duì)稱性知命題成立若l不過(guò)原點(diǎn)且與x軸不垂直，則M與重合∴橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)總結(jié)橢 圓1. 點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角.2. PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).3. 以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離.4. 以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切.5. 若在橢圓上，則過(guò)的橢圓的切線方程是.6. 若在橢圓外 ，則過(guò)Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為PP2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.7. 橢圓 (a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn) 2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則橢圓的焦點(diǎn)角形
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