經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分洛必達(dá)法則(已修改)
2025-08-31 16:41 本頁(yè)面
【正文】 四、小結(jié) 思考題 第二節(jié) 洛必達(dá)法則 一 、 ax ? 時(shí)的00 型未定式 二、當(dāng) ??x 時(shí)的00型未定式及當(dāng) ax ? 或 ??x 時(shí)的??型未定式 三 、 ??0 、 ??? 、 00 、 ?1 、 0? 型未定式 洛必達(dá)法則型未定式解法時(shí)的一、 :00ax ?定義 例如 , ,ta nlim 0 x xx? ,s i nln s i nlnlim 0 bxaxx ?)00( )(??( L’HospitalBernoulli rule ) 在．通可能存在、也可能不存極限大，那末都趨于零或都趨于無(wú)窮與時(shí)，兩個(gè)函數(shù)或如果當(dāng))()(l i m)()()()(xFxfxFxfxaxxax??????.00 型未定式或常把這種極限稱為 ??.)()(lim)()(lim)。()()(lim)3(。0)()()(,)2(。)()(,)1(xFxfxFxfAxFxfxFxFxfaxFxfaxaxaxax???????????????那末或?yàn)榍叶即嬖诩包c(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)在都趨于零及函數(shù)時(shí)當(dāng)設(shè)定理 定義 這種在一定條件下通過(guò)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則 . 證 不妨設(shè) ,),(0 xaU 內(nèi)任取一點(diǎn)在 ?,為端點(diǎn)的區(qū)間上與在以 xa,)(),( 11 件滿足柯西中值定理的條xFxf則有 )()( )()()( )( aFxF afxfxF xf ??? )( )(??Ff ??? )( 之間與在 ax?, aax ?? ?時(shí)當(dāng),)( )(lim AxF xfax ????? ,)( )(lim AFfa ????? ???.)( )(l i m)( )(l i m AFfxF xf aax ????? ?? ???? ? ? ? 0,0 ?? aFaf使用洛必達(dá)法則，即定理的條件，可以繼續(xù)滿足型，且仍屬如果 )(),(00)()(xFxfxFxf ????.)( )(l i m)( )(l i m)( )(l i m ?????????? ??? xF xfxF xfxF xf axaxax例 1 解 .t a nlim0 xxx ?求)()( t a nlim0 ???? xxx原式 1s e clim20xx? .1?)00(例 2 解 .123lim 2331 ?????? xxxxxx求12333l i m221 ????? xxxx原式 26 6l i m1 ??? xxx.23?)00(266lim1 ?? xxx上式中的 已不是未定式，不能再對(duì)它應(yīng)用洛必 達(dá) 法則，否則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果． 注意： 在多次使用洛必達(dá)法則時(shí)，一定要注意驗(yàn)證是否滿足條件 ． 二、 當(dāng) ??x 時(shí)的00型未定式及當(dāng) ax ? 或??x 時(shí)的??型未定式 如 ax ? 時(shí)的未定式 ?? 型的洛必達(dá) 法 則為： . , , , 0 0 都有相應(yīng)的洛必達(dá)法則 時(shí)的未定式 或 以及 時(shí)的未定式 當(dāng) ? ? ? ? ? ? ? x a x x .)()(lim)()(lim)。()()(lim)3(。0)()()(,)2(。)(lim)(lim)1(xFxfxFxfAxFxfxFxFxfaxFxfaxaxaxaxax???????????????????那末或?yàn)槎即嬖谇壹包c(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)在如果例 3 解 .1a r c t a n2limxxx?????求22111l i mxxx???????原式221lim xxx ????? .1?例 4 解 .s i nln s i nlnlim0 bxaxx ?求axbxbbxaxax s i nc oss i nc osl i m0 ????原式 .1?)00()(??axbxx c o sc o slim0??例 5 解 .3t a nt a nl i m2xxx ??
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