【正文】 11112 ( ( ) , 39。(x))除 ?39。(x)), 然后對(duì) ?(x)與(?(x)， ?39。 2) g(x)＝ xn+nxn?1+n(n?1)xn?2 +… +n(n?1)…3 (x), …, ? (k?1)(x)的因式 , 但不是 ?(k)(x) 因式 . Exercises 2。 4(ii)。 多項(xiàng)式函數(shù) , 多項(xiàng)式的根 定義 設(shè) R是一個(gè)數(shù)環(huán) , 并設(shè) ?(x)=anxn+an?1xn?1+… +a1x+a0 是 R[x]中一個(gè)多項(xiàng)式 . 取 c?R， 則記 ?(c)=an+an?1?1+… +a1c+ a0 此時(shí) , 我們稱(chēng) ?(x)為數(shù)環(huán) R上的一個(gè) 多項(xiàng)式函數(shù) , ?(c)為函數(shù) ?(x)在 c點(diǎn)的 值 . 特別的 , 如果?(c)=0， 則稱(chēng) c是 ?(x)在 R中的一個(gè) 根 (或 零點(diǎn) ). 定理 (余數(shù)定理 ) 在 R[x]中 ， 用一次多項(xiàng)式 x?c去除多項(xiàng)式 ?(x), 所得的余式為R中的數(shù) ?(c). 推論 (Bezout定理 ) 設(shè) ?(x)?R[x]， c?R是?(x)在 R中的根的充分必要條件為 x?c|?(x). 綜合除法 設(shè) ?(x)=anxn+an?1xn?1+… +a0， g(x)=x?c， 求g(x)除 ?(x)的商與余式 , 并計(jì)算 f(c)． 設(shè) ?(x)=q(x)g(x)+r(x)=q(x)(x?c)+r(x) 則可設(shè) (r(x)=r) q(x)=bn?1xn?1 +bn?2 xn?2+… +b0, r=?(c) 并且 bn?1=an, bn?2=an?1+cbn?1, … , b1= a2+cb2, b0= a1+cb1, r=?(c)=a0+cb0 即 bn?1=an, bn?2=an?1+cbn?1, … , b1= a2+cb2, b0= a1+cb1, r=?(c)=a0+cb0 從而可記： c | an an?1 an?2 … a2 a1 a0 + cbn?1 cbn?1 … cb2 cb1 cb0 an=bn?1 bn?2 bn?3 … b1 b0 r=?(c) 例 1 設(shè) ?(x)=2x5?6x3＋ 3x2?2x＋ 5， g(x)=x?2， 求 g(x)除 ?(x)的商與余式 , 并計(jì)算 f(2)． 例 2 設(shè) ?(x)=2x5?6x3＋ 3x2?2x＋ 5， h(x)=(x?2)(x+3)， 求 h(x)除 ?(x)的商與余式 ． 利用根與一次因式的關(guān)系 , 對(duì)于 R[x]中的多項(xiàng)式 在 R中的根 , 我們可以定義重根的 概念 : a?R稱(chēng) 為 ?(x)?R[x]的一個(gè) k重根 , 如果 (x?a)是?(x)的 k重因式 . 當(dāng) k=1時(shí) ， a稱(chēng)為單根 。(x) | f(x). 例 7 求 t的值使得 f (x)=x3?3x2+tx?1 有重根 . 例 8 設(shè) a是 f (3)(x)的一個(gè) n重根 . 證明 a是 的一個(gè) k+3重根 . ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( )2xag x f x f a f x f a? ??? ? ? ?例 9 證明 : 如果 (x2+x+1)| [f(x3)+xg(x3)], 那么(x?1)|f(x), (x?1)|g(x). 例 10 證明 : 如果 (x?1)|f(xn), 那么 (xn?1)|f(xn). Exercises 1.。 3.。 5. 7. 9. 167。 a2＝ ?1?2+ ?1?3 … + ?n?1?n。 …… an?1=(?1)n?1(?1?2… ?n?1+ ?1?3… ?n+ … + ?2… ?n?1?n) an=(?1)n?1?2… ?n 例 求有單根 5與 ?2以及二重根 3的四次多項(xiàng)式 . 即求 ?(x)= (x?5)(x＋ 2)(x?3)(x?3) 或者 ?(x)=a(x?5)(x＋ 2)(x?3)(x?3) 從而： a1＝ ?(5?2+3+3)=?9。( ?2)+53+(?2)3+3 a3 ＝ ? (53+ 53+ 53+(?2)3)=33。( ?2)3=?90。 并且c與 c的重?cái)?shù)也相等 . 實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的虛根共軛成對(duì)出現(xiàn) . 定理 實(shí)數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式都是一次或二次的 。 3.。 8 有理系數(shù)多項(xiàng)式 要明確四點(diǎn)： 2. 有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根可全部求得； 3. 一有理系數(shù)多項(xiàng)式無(wú)有理根并不保證此 多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約；并且對(duì)某些有理系數(shù)多項(xiàng)式的不可約性可判定； 4. 在有理數(shù)域上存在任意次的不可約多項(xiàng)式 . 1. 有理系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上的因式分解等價(jià)于一個(gè)整系數(shù) (本原 )多項(xiàng)式的因式分解； 定義 一個(gè)非零的整系數(shù)多項(xiàng)式 g(x)=bnxn+…+ b1x+b0 如果它的各項(xiàng)系數(shù) bn， bn1， … ， b1， b0的最大公因數(shù)為 177。 2) p | ai， i=0, 1， … ， n1。 則 ?(x)在有理數(shù)域上是不可約的 . 定理 設(shè) f(x)=anxn+an?1xn?1+… +a1x+a0為整系數(shù)多項(xiàng)式 , b是任意整數(shù) . 令 g(x)=f(x+b) =an(x+b)n+an?1(x+b)n?1+… +a1(x+b)+a0 則 f(x)在 Q上可約當(dāng)且僅當(dāng) g(x)在 Q上可約 . 注： Eisenstein判別法只能判定一有理系數(shù)多項(xiàng)式滿(mǎn)足條件則不可約，如不滿(mǎn)足條件不能判定就一定可約 . 例 1 判斷下述多項(xiàng)式在有理數(shù)域上是否可約 . f(x)=x4+6x3+2x2+10 例 2 設(shè) p1, p2, … , pm 是 m個(gè)不同的素?cái)?shù) .證明：(p1 p2… pm)1/n (n1)是無(wú)理數(shù) . 例 3 設(shè) p是一個(gè)素?cái)?shù) ， 多項(xiàng)式 ?(x)=xp?1+xp?2+…+ x+1 稱(chēng)為一個(gè) 分圓多項(xiàng)式 . 證明 ?(x)在 Q上不可約 . 例 4 證明 :如果 是有理系數(shù)多項(xiàng)式 f (x)的無(wú)理根 (a, b?0均為有理數(shù) ), 則 也是 f(x)的根 . 2ab?2ab?Exercises 1. (ii), (iv)。 3.。 ( ) 39。 多元多項(xiàng)式 * n元多項(xiàng)式： 若干個(gè)關(guān)于變?cè)?x1, x2,… , xn的 n元單項(xiàng)式的代數(shù)和 稱(chēng)為關(guān)于變?cè)?x1, x2,… , xn的 n元多項(xiàng)式 . 12121212,nmmkkkk k k nk k ka x x x? n元單項(xiàng)式： 設(shè) R是一個(gè)數(shù)環(huán) , a?R， x1, x2,… , xn是 n個(gè)文字 . 稱(chēng)形為 的式子為關(guān)于變?cè)?x1, x2,… , xn的 n元單項(xiàng)式 . 1212nkkkna x x x n元多項(xiàng)式環(huán)： 數(shù)環(huán) R上所有關(guān)于變?cè)?x1, x2,… , xn的 n元多項(xiàng)式的全體稱(chēng)為關(guān)于變?cè)?x1, x2,… , xn的 n元多項(xiàng)式環(huán) ， 記為： R[x1, x2,… , xn] 字典排序法：關(guān)于變?cè)?x1, x2,… , xn的任一n元單多項(xiàng)式 唯一地對(duì)應(yīng)一個(gè) n元數(shù)組 (k1, k2, … , kn). 對(duì)任意的兩個(gè) n元數(shù)組(k1, k2, … , kn) 和 (l1, l2, … , ln), 如果存在 1?i?n, 使得 k1?l1=0, k2?l2=0, … , ki?1?li?1 =0, ki?li 0 那么 , 我們稱(chēng) n元數(shù)組 (k1, k2, … , kn)先于 (l1, l2, … , ln), 即： (k1, k2, … , kn)(l1, l2, … , ln) 1212nkkkna x x x n元多項(xiàng)式的首項(xiàng) ： 由字典排序法排出的第一個(gè)系數(shù)不為零的一 n元多項(xiàng)式的單項(xiàng)式稱(chēng)為該多項(xiàng)式的首項(xiàng) . 定理 兩個(gè)非零多項(xiàng)式的乘積的首項(xiàng)等于這兩個(gè)多項(xiàng)式的首項(xiàng)的積 . 推論 1 多個(gè)非零多項(xiàng)式的乘積的首項(xiàng)等于各多項(xiàng)式的首項(xiàng)的積 . 推論 2 多個(gè)非零多項(xiàng)式的乘積為非零多項(xiàng)式 . n元多項(xiàng)式的次數(shù) ： 其首項(xiàng)的次數(shù) . n元多項(xiàng)式函數(shù) ： 一 n元多項(xiàng)式的各單項(xiàng)式的次數(shù)均相等 . 齊次 n元多項(xiàng)式 ： 167。 (introduction) Ch. 3 行列式 (Determinants) 167。 n級(jí)行列式 167。 行列式的計(jì)算 167。 克蘭姆法則 (Cramer’s Rule) 167。 1 引言 (introduction) n元線性方程組 11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 21()nnnnm m m n n ma x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ?? aij 雙重腳標(biāo)表示 aij為 方程組 (1)的第 i 個(gè)方程中第 j 個(gè)未知量的系數(shù) . 要解決的問(wèn)題： 1） 方程組是否有解 ？ 什么情況下有解 ？ 什么情況下無(wú)解 ？ 2） 有解時(shí)：什么情況下解唯一 ？ 什么情況下有無(wú)窮多解 ？ 無(wú)窮多解時(shí)解 如何表示 ？ （一） 二階行列式 11 1211 22 12 2121 22aaa a a aaa??－（次對(duì)角線） +（主對(duì)角線） （二） 三階行列式 11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a?11 22 33 12 23 3113 21 32 11 23 3212 21 33 13 22 31a a a a a aa a a a a aa a a a a a?????畫(huà)線法記憶 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 + + + ? ? ? 給定一個(gè)二元線性方程組： 如果其系數(shù)構(gòu)成的二階行列式 ???????22221211212111bxaxabxaxa11 1221 220aaDaa??則原方程組有唯一解： , , DDxDDx 2211 ??其中 1 12 11 1122 22 21 2, b a a bDDb a a b??類(lèi)似地，給定一個(gè)三元線性方程組： 如果其系數(shù)構(gòu)成的二階行列式 1 1 1 1 2 2 1 3 3 12 1 1 2 2 2 2 3 3 23 1 1 3 2 2 3 3 3 3a x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ???? ? ???? ? ??11 12 1321 22 2331 32 330a a aD a a aa a a??則原方程組有唯一解 ： 3121 2 3, , , DDDx x xD D D? ? ?其中 1 12 13 11 1 13 11 12 11 2 22 23 2 21 2 23 3 21 22 23 32 33 31 3 33 31 32 3, , b a a a b a a a bD b a a D a b a D a a bb a a a b a a a b? ? ?167。 否則 , 稱(chēng)為 奇排列 . 對(duì)換 (transposition) 將一個(gè) n級(jí)排列中的兩個(gè)數(shù)互換位置而得到另一個(gè) n級(jí)排列的變換 . 定理 對(duì)換改變一 n級(jí)排列的奇偶性 . 定理 設(shè) i1 i2… in和 j1 j2… jn是任意兩個(gè)n級(jí)排列 . 那么 經(jīng)若干對(duì)換可將 i1 i2… in化為j1 j2… jn. 推論 n級(jí)排列中奇偶排列各一半 (n!/2). 16